Questão 4

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Sabe-se $y.z.sqrt{zsqrt{x}}=x.y^{3}.z^{2} = frac{x}{z.sqrt{y.z}}=e$ , em que $e$ é a base dos logaritmos naturais. O valor de $x+y+z$ é

$e^{3}+e^{2}+1$

$e^{2}+e^{-1}+e$

$e^{3}+1$

$e^{3}+e^{-2}+e$

$e^{3}+e^{-2}+e^{-1}$

Gabarito:

$e^{2}+e^{-1}+e$

Resolução:

Sejam x, y e z reais positivos.

$x y^{3}z^{2} = frac{x}{zsqrt{yz}}$

$(yz)^{3} = frac{1}{sqrt{zy}}$

$(yz)^{6} = frac{1}{yz}$

$(yz)^{7} = 1$

$y cdot z = 1 Rightarrow oxed{y = frac{1}{z}}$

Substituindo na segunda equação:

$frac{x}{zsqrt{zy}} = e$

$frac{x}{zsqrt{1}} = e$

$x = ez$

Portanto, na primeira equação:

$yzsqrt{zsqrt{x}} = e$

$1 cdot sqrt{zsqrt{ez}} = e$

$sqrt[4]{ez^{3}}=e$

$ez^{3} = e^{4}$

$e = z$

Portanto:

$x = e cdot z = e^{2}$

$y = frac{1}{z} = e^{-1}$

Port fim:

$x+y+z = e^{2} + e^{-1} + e$

Questões relacionadas

Questão 1

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Qual é o menor número?

Ver questão

Questão 5

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual...

Ver questão

Questão 6

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Em um quadrilátero ABCD, os ângulos e são retos. Considere que e sejam as raízes da equação...

Ver questão

Questão 7

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro AB oblíquo a r. A proje&cce...

Ver questão