Questão 3

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Determine o(s) valor(es) de x, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) a equação

Gabarito:

Resolução:

$prod_{z=0}^{y-1} (y-z) = y cdot (y-1)(y-2) cdot cdots cdot 2 cdot 1 = y!$

$x^{2} = sum_{y=1}^{x} [prod_{z=0}^{y-1}(y-z)] = sum_{y=1}^{x} y! = 1! + 2! + cdots + x!$

Se $xgeq 4$ temos que $x! > x^{2}$ . Assim, a equação não tem solução, pois a segunda expressão seria maior que a primeira. Como x deve ser inteiro e positivo, temos apenas os casos para x = 1, x = 2 e x = 3.

x = 1:

$1^{2} = 1!$

x = 2:

$2^{2} = 1! + 2! Rightarrow 4 =3 ABSURDO$

x = 3:

$3^{2} = 1! + 2! + 3! Rightarrow 9 = 9$

As soluções são 1 e 3.

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