Questão 7

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

O lado $overline{BC}$ de um triângulo ABC é fixo e tem comprimento $alpha$ . O ortocentro H do triângulo percorre uma reta paralela à reta suporte de $overline{BC}$ e distante $alpha$ /4 da mesma.

a) Determine o lugar geométrico do ponto A quando H varia.

b) Determine o valor mínimo da área do triângulo ABC quando A e H estão no mesmo semi-plano definido pela reta suporte de $overline{BC}$ .

Gabarito:

Resolução:

Sejam:

$A = (x_{a}, y_{a})$

$B = (-frac{a}{2}, 0)$

$C = (frac{a}{2}, 0)$

$H = (x_{a}, pmfrac{a}{4})$

Assim, torna-se necessário fazer duas análises. A primeira é adotando a reta vermelha paralela ao lado BC, assim $H = (x_{a}, frac{a}{4})$

Pelo ortocentro, BG e AC são perpendiculares, dessa maneira:

$m_{BH} cdot m_{AC} = -1$

$frac{frac{a}{4}}{x_{a}+frac{a}{2}} cdot frac{y_{a}}{x_{a} - frac{a}{2}} = -1$

$y_{a} = a - frac{4x_{a}^{2}}{a}$

Resultou na equação de uma parábola com concavidade para baixo que deve conter os pontos B e C:

SO segundo caso é quando: $H = (x_{a}, - frac{a}{4})$ :

O caso é análogo. BH e AC são perpendiculares, tal que:

$m_{BH} cdot m_{AC} = -1$

$frac{-frac{a}{4}}{x_{a}+frac{a}{2}} cdot frac{y_{a}}{x_{a}-frac{a}{2}} = -1$

$y_{a} = -a +frac{4x_{a}^{2}}{a}$

Dessa vez temos uma parábola com concavidade para baixo que contém B e C:

b) Se S é a área do triângulo de ABC em termos de x_a :

$S = frac{ay_{a}}{2}$

$S = frac{a cdot (a-frac{4x_{a}^{2}}{a})}{2}$

$S = frac{a^{2}}{2} - 2x_{a}^{2}$

Desse modo, notamos que a área máxima corresponde á ordenada do vértice da parábola de S. Como o x do vértice é zero:

$S(0) = frac{a^{2}}{2} - 0$

$S_{maxima} = frac{a^{2}}{2}$

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