Questão 10

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Sejam p o semiperímetro de um triângulo, S sua área, r e R os raios de suas circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente. Demonstre que vale a seguinte desigualdade

$frac{2sqrt{3}}{9}sleq r.Rleq frac{2p^{2}}{27}$

Gabarito:

Resolução:

Sejam x,y e z os lados do triângulo em questão.

Demonstrar-se-à que $r cdot R leq frac{2p^{2}}{27}$

Sabe-se que:

$S = pR = frac{xyz}{4R}$

$r cdot R = frac{xyz}{4p}$

Pela desigualdade das médias:

$sqrt[3]+xyz leq frac{x+y+z}{3} = frac{2p}{3}$

Logo:

$xyz leq frac{8p^{3}}{27}$

Substituindo na relação inicial do produto dos raios:

$r cdot R = frac{xyz}{4p} leq frac{8p^{3}}{27} cdot frac{1}{4p} = frac{2p^{2}}{27}$

$r cdot R leq frac{2p^{2}}{27}$

Pela lei dos senos:

$frac{x}{senA} = frac{y}{sen B} = frac{c}{sen C} = 2R$

Pela proporção, é possível afirmar que:

$2R = frac{x+y+z}{sen A + sen B + sen C} = frac{2p}{sen A + sen B + sen C}$

$R = frac{p}{sen A + sen B + sen C}$

$R cdot r= frac{r cdot p}{sen A + sen B + sen C}$

$R cdot r= frac{S}{sen A + sen B + sen C}$

Considere que:

$F = sen A + sen B+ sen C$

Sabemos que a soma interna dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º:

$A + B + C = pi$

$F =( sen A + sen B) + sen (2 cdot frac{C}{2})$

$F = 2 sen (frac{A+B}{2}) cdot cos (frac{A-B}{2}) + 2 sen (frac{C}{2}) cdot cos(frac{C}{2})$

$F = 2 cos(frac{C}{2}) cdot cos(frac{A-B}{2}) + 2 cdot cos(frac{A+B}{2}) cdot cos(frac{C}{2})$

$F = [cos (frac{A-B}{2}) + cos (frac{A+B}{2})] cdot cos(frac{C}{2})$

$F = 2 cdot [2 cdot cos (frac{A}{2}) cdot cos(frac{B}{2})] cdot cos(frac{C}{2}) = 4 cdot cos(frac{A}{2}) cdot cos(frac{B}{2}) cdot cos(frac{C}{2})$

Mostrar-se-à que:

$frac{2sqrt{3}}{9}S leq frac{S}{sen A + sen B + sen C}$

$sen A + sen B + sen C leq frac{3sqrt{3}}{2}$

mostrar-se-à que:

$cos(frac{A}{2}) cdot cos(frac{B}{2}) cdot cos(frac{C}{2}) leq frac{3sqrt{3}}{8}$

Tem-se que:

$cosA + cos B + cos C = (cos A + cos B) + cos (2cdot frac{C}{2})$

$2cos(frac{A+B}{2}) cdot cos(frac{A-B}{2}) + [1 -2sen^{2}(frac{C}{2})]$

$2cos(frac{pi}{2} - frac{C}{2}) cdot cos(frac{A-B}{2}) + [1-2sen^{2}(frac{C}{2})]$

$2sen(frac{C}{2}) cdot cos(frac{A-B}{2}) + [1-2sen^{2}(frac{C}{2})]$

Tendo em vista que $(frac{A-B}{2}) leq 1$ :

$cos A + cos B + cos C leq 2 cdot sen(frac{C}{2}) +1 - 2 sen^{2}(frac{C}{2})$

$1-2 [sen^{2} (frac{C}{2}) - sen(frac{C}{2})]$

$1-2[(sen^{2}(frac{C}{2})-2sen(frac{C}{2})cdot frac{1}{2}+frac{1}{4}) -frac{1}{4}] = frac{3}{2} - 2 [sen(frac{C}{2})-frac{1}{2}]^{2}$

Sendo $[sen(frac{C}{2}) - frac{1}{2}]^{2} geq 0$ :

$cos A + cos B + cosC leq frac{3}{2}$

$[2cos^{2}frac{A}{2}-1] + [2cdot cos^{2}(frac{B}{2})-1] + [ 2cdot cos^{2}(frac{C}{2})-1] leq frac{3}{2}$

$2[cos^{2}(frac{A}{2}) + cos^{2}(frac{B}{2}) +cos^{2}(frac{C}{2})]-3 leq frac{3}{2}$

$cos^{2}(frac{A}{2}) + cos^{2}(frac{B}{2}) + cos^{2}(frac{C}{2}) leq frac{9}{4}$

A desigualdade das médias nos diz que:

$frac{cos^{2}(frac{A}{2}) + cos^{2}(frac{B}{2})+cos^{2}(frac{C}{2})}{3} geq sqrt[3]{cos^{2}(frac{A}{2}) cdot cos^{2}(frac{B}{2})cdot cos^{2}(frac{C}{2})}$

$cos^{2}(frac{A}{2}) cdot cos^{2}(frac{B}{2}) cdot cos^{2}(frac{C}{2}) leq [frac{cos^{2}(frac{A}{2})+cos^{2}(frac{B}{2}) + cos^{2}(frac{C}{2})}{3}]$

$[cos(frac{A}{2}) cdot cos(frac{B}{2}) cdot cos(frac{C}{2})]^{2} leq [frac{frac{9}{4}}{3}]^{3} = frac{27}{64}$

$cos(frac{A}{2}) cdot cos(frac{B}{2}) cdot cos(frac{C}{2}) leq frac{3sqrt{3}}{8}$

Assim, demonstramos que:

$frac{2sqrt{3}}{9}S leq r cdot R$

Questão 10

IME 2013

Questões relacionadas

Questão 1

Questão 5

Questão 6

Questão 7