Questão 22

IME 2015

Física

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Um corpo rígido e homogêneo apresenta seção reta com dimensões representadas na figura acima.
Considere que uma força horizontal F, paralela ao eixo x, é aplicada sobre o corpo a uma distância de 1,5 u.c. do solo e que o corpo desliza sem atrito pelo solo plano horizontal. Para que as duas reações do solo sobre a base do corpo sejam iguais, a distância y, em u.c., deverá ser
Consideração:
• u.c. – unidade de comprimento.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que a estrutura está parada, logo a soma dos torques nela é zero, então vamos colocar nossa rotação desse objeto em cima do centro de massa, e falar que os torques no sentido horário vão se anular com os torques no sentido anti-horário:

Ainda não sabemos aonde que está localizado o centro de massa na direção Y, por simetria do objeto sabemos que o centro de massa na direção x estará exatamente na metade da figura:

Com isso sabemos que tanto a força F e a normal a esquerda do CM fará o objeto rotacionar para a direita (horário), enquanto a normal da direita fará o objeto rotacionar para a esquerda (anti-horário). Assim temos: $T(anti-horario)=T(horario)$

Devemos lembrar que o torque é produzido pela força vezes a distância até o centro de massa, com isso temos que a distância F até o centro de massa será 1,5-Ycm sendo Ycm a distância do centro de massa até a superfície.

$F(1,5-Ycm)+N(frac{3y}{8})=N(frac{3y}{8})Rightarrow Ycm=1,5$

Agora devemos calcular o centro de massa na posição Y, sabendo que o corpo é rígido, a massa total dele se dá por $m= ho .A$ e vamos calcular essa massa para cada figura, ou seja os dois retângulos e o triângulo. Esse $ho$ é a densidade de massa por unidade de área.

Então a massa dos retângulos fica:

$m(retangulo)= ho . (frac{y}{4}.y)= ho.frac{y^2}{4}$

Perceba que o triangulo é equilátero então a área dele é dada pela seguinte formula: $A=frac{L^2 .sqrt{3}}{4}$ sendo L o lado do triângulo

$m(triangulo)= ho . (frac{y^2 sqrt{3}}{4})$

Agora podemos calcular o Ycm, pela formula de centro de massa

$Ycm= frac{m(retangulo).Y(retangulo) +m(triangulo)Y(triangulo)+m(retangulo)Y(retangulo)}{m(retangulo).m(triangulo).m(retangulo)}$

Substituindo temos:

$Ycm= frac{ ho.frac{y^2}{4}. frac{y}{2}+ ho . (frac{y^2 sqrt{3}}{4}).(y+frac{y.sqrt{3}}{6})+ ho.frac{y^2}{4}. frac{y}{2}}{ ho.frac{y^2}{4}+ ho . (frac{y^2 sqrt{3}}{4})+ ho.frac{y^2}{4}}$

Lembrando o Ycm do triângulo equilátero é obtido pela seguinte maneira:

É a mesma coisa as duas maneiras só jeitos diferentes de achar essa medida, Veja que na segunda meneira ele está posicionado a uma distância de h/3 se jogarmos na formula de altura encontraremos Ycm = $frac{ysqrt{3}}{6}$ o qual foi usada na resolução.

Agora vamos fazer aquela continha de cima, colocando em evidência o $ho frac{y^2}{4}$ temos:

$\Ycm= frac{ ho.frac{y^2}{4}(frac{y}{2}+sqrt{3}(y+frac{ysqrt{3}}{6})+frac{y}{2})}{ ho.frac{y^2}{4}(1+sqrt{3}+1)}Rightarrow \ \ Ycm = frac{frac{y}{2}+sqrt{3}(y+frac{ysqrt{3}}{6})+frac{y}{2})} {2+sqrt{3}} colocando o y evidencia Rightarrow \ \ Ycm=frac{y(frac{1}{2}+frac{1}{2}+sqrt{3}+frac{1}{2})}{2+sqrt{3}}Rightarrow Ycm=frac{y(frac{3}{2}+sqrt{3})}{2+sqrt{3}}.frac{2}{2}Rightarrow Ycm=frac{y(3+2sqrt{3})}{4+2sqrt{3}}\ \Ycm=frac{y(3+2sqrt{3})}{4+2sqrt{3}} .frac{4-2sqrt{3}}{4-2sqrt{3}}=frac{y(12-6sqrt{3}+8sqrt{3}-12)}{16-12}=frac{y(2sqrt{3})}{4}=frac{ysqrt{3}}{2}$

Sabendo acima que Ycm=1,5 podemos substituir:

$1,5=yfrac{sqrt{3}}{2}Rightarrow y=frac{3}{sqrt{3}}Rightarrow y=sqrt{3}=2.sen(frac{pi}{3})$

Questão 22

IME 2015

Questões relacionadas

Questão 16

Questão 17

Questão 18

Questão 19