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Questão 27

IME 2015
Física

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Um circuito é alimentado por uma bateria através de uma chave temporizada ch que após o seu fechamento, abrir-se-á depois de transcorrido um período de tempo igual a T. Esse circuito é formado por segmentos de condutores com a mesma seção, mesma resistividade e comprimentos indicados na figura. Também estão inseridos cinco fusíveis f1 a f5, que têm a função de manter a continuidade do fluxo de corrente e de manter os segmentos conectados. Sempre que um dos fusíveis queimar, o segmento imediatamente à esquerda vai girar no sentido horário, fechando o contato, através de um batente, após decorridos T/4. Sabe-se que cada fusível necessita de T/4 para se romper diante de uma corrente maior ou igual à corrente de ruptura. A partir do fechamento da chave temporizada ch até a sua abertura, a energia consumida pelo circuito é igual a
Dados:
• correntes de ruptura para cada fusível a partir da direita:

o f1: 0,9 I;
o f2: 1,1 I;
o f3: 1,5 I;
o f4: 1,8 I; e
o f5: 2,1 I.

• resistividade do segmento: r;
• seção do fio: S;
• diferença de potencial da bateria: U.
Observações:
• I corresponde a corrente elétrica com todos os fusíveis ligados;
• desconsidere a resistência dos fusíveis, da chave, dos fios e dos engates que conectam a fonte ao circuito.

A

B

C

D

E

Gabarito:



Resolução:

Temos que o fio tem 15,5L de tamanho. Então podemos calcular a resistência:

R = frac {p15,5L}{S}

Agora para calcular a corrente:

I = frac {V}{R}  = frac {US}{p15,5L}

O enunciado nos diz que T/4 um fusível queima, então vamos calcular a energia consumida nesse tempo:

E = P_{eletrica} Delta t

E = R cdot I^2 cdot frac {T}{4}

E = frac {p15,5L}{S} cdot (frac {US}{p15,5L})^2 cdot frac {T}{4}

E = frac {p15,5L}{S} cdot (frac {U^2S^2}{p^215,5^2L^2}) cdot frac {T}{4}

Podemos cortar a resistência com parte da corrente:

E = (frac {U^2S}{p15,5}) cdot frac {T}{4}

E = frac {U^2ST}{p62L}

Essa então é a energia para queimar um fusível.

Agora, após girar o primeiro segmento, teremos uma nova resistência, que é dada por:

R_1 = frac {p11L}{S}

I_1 = frac {V}{R_1} = frac {US}{p11L}

E_1 = RI^2 Delta T

E_1 = (frac {p11L}{S})(frac {US}{p11L})^2 frac {T} {4}

E_1 = frac {U^2S}{p11L} cdot frac {T} {4}

E_1 = frac {U^2ST}{p44L}

 

E_{total} = E + E_1

E_{total} = frac {U^2ST}{p62L} + frac {U^2ST}{p44L}

E_{total} = frac {U^2ST}{pL} cdot (frac {1}{62} + frac {1}{44})

 

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