Questão 4

IME 2015

Física

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Um canhão movimenta-se com velocidade constante ao longo do eixo Y de um sistema de coordenadas e dispara continuamente um feixe de elétrons com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo X. Ao deixar o canhão, o feixe de elétrons passa a sofrer exclusivamente a ação do campo elétrico indicado nas duas situações das figuras.

a) Na situação 1, sabendo que, em t = 0, o canhão está em y = yo, determine a equação da curva de y em função de x e t do feixe de elétrons que é observada momentaneamente no instante t, resultante do disparo contínuo de elétrons.

b) Na situação 1, determine a máxima coordenada y da curva observada no instante t.

c) Repita o item (a) para o campo elétrico em conformidade com a situação 2, determinando a equação da curva de x em função de y e t.

Dados:

- módulo do campo elétrico do plano XY: E;

- massa do elétron: m;

- carga do elétron: -q;

- velocidade escalar do canhão e velocidade de saída do feixe: v.

Gabarito:

Resolução:

Vamos calcular as posições do elétron no instante t dado que o elétron foi ejetado no instante t'. Elas podem ser escritas da seguinte maneira:

$left{egin{matrix} x = V (t - t)\ y = y_o -Vcdot t - frac {1}{2} frac {Eq}{m}(t - t)^2 end{matrix} ight.$

Veja que se t' = t = 0, estamos na situação inicial em que y = y_o e x = 0.

E y₀ - V.t' representa a posição vertical inicial no instante t'.

A aceleração da partícula no eixo y, que está sob efeito do campo elétrico: $a = frac {Eq}{m}$

Pegando a equação de x, temos:

$x = V (t - t) ightarrow t = t- frac {x}{V}$

Agora vamos substituir essas equações na equação de y:

$y = y_o - V (t - frac {x}{V}) - frac {1}{2 }frac {Eq}{m}(t -(t - frac {x}{V}))^2$

$y = y_o - V t + {x} - frac {1}{2 }frac {Eq}{m}(frac {x^2}{V^2})$

Para sabermos qual é o ponto máximo da reta, podemos usar o seguinte conceito:

$y_{max} = - frac {Delta}{4a}$

$y_{max} = - frac {[1 + frac {2Eq}{mV^2 }(y_o - Vt)]}{4(-frac{1}{2}frac {Eq}{mV^2})}$

$y_{max} = frac {mV^2}{2Eq} + y_o - Vt$

$left{egin{matrix} x = V cdot (t - t) + frac {1}{2} frac {Eq}{m}(t - t)^2\ y = y_o + vt end{matrix} ight.$

$x = V cdot (t - frac {y - y_o}{v}) + frac {1}{2} frac {Eq}{m}(t - frac {y - y_o}{v})^2\$

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