Questão 6

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Seja $A = left[ egin{array}{ccc} 1 & a & -2 \ a-2 & 1 & 1 \ 2 & -3 & 1 end{array} ight]$ com . Sabe-se que $det(A^{2}-2A+I)=16$ . A soma dos valores de $a$ que satisfazem essa condição é:

Obs: det(X) denota o determinante da matriz X

Gabarito: 3

Resolução:

Perceba que podemos escrever $left(A^{2} - 2A + I ight )$ como $left(A-I ight )^{2}$

$detleft(A-I ight )^{2} = 16$

Vamos chamar de B, a matriz = $A -I$

Temos que $detB^{2} = 16$

Subtraindo A da matriz Identidade:

$B=egin{vmatrix} 0 & a & -2 \ a-2 &0 & 1\ 2 & -3 & 0 end{vmatrix}$

$detleft(egin{vmatrix} 0 & a & -2 \ a-2 &0 & 1\ 2 & -3 & 0 end{vmatrix} ight)^{2} = 16$

$detegin{vmatrix} 0 & a & -2 \ a-2 &0 & 1\ 2 & -3 & 0 end{vmatrix} = +-4$

$detB = left(8a-12 ight )$

$detB = 4left(2a-3 ight )$

$4left(2a-3 ight ) = 4$

$a = 2$

$4left(2a-3 ight ) = -4$

$a=1$

Somando os dois valores de a: 2+1 = 3

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