Questão 9
IME 2016
Matemática
(IME - 2016/2017 - 1ª fase) Sejam x, y e z números complexos que satisfazem ao sistema de equações abaixo:
O valor da soma x3+y3+z3 é:
A
210
B
235
C
250
D
320
E
325
Gabarito:
235
Resolução:
Observe que (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz)
7² = 25 + 2(xy + xz + yz)
xy + xz + yz = 12.(eq. 1)
Da terceira equação do sistema inicial temos (xy + xz + yz)/xyz = 1/4.
12/xyz = 1/4.
xyz = 48(eq. 2)
Agora vamos usar a identidade x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)(x² +y² +z² -(xy + xz + yz))
x³ + y³ +z³ - 3(48) = (7)(25 - 12)
x³ + y³ +z³ = 7*13 + 3(48)
x³ + y³ + z³ = 70 + 21 + 120 + 24 = 235