Questão 10
IME 2016
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.
Gabarito:
48
Resolução:
Fixando a posição do 1, podemos colocar todos os pares de números adjacentes ao 1 em que a soma dos três irá resultar em um múltiplo de 3.
Os pares são: [2,3], [5,3], [2,6], [5,6].
Exemplo pegando o par [2,3] (O mesmo vale para os outros pares)
Observe que para cada par, existem 2 posições distintas.
Como isso, podemos perceber que o número 4 sempre deve ser oposto ao número 1, e o número 2 sempre deve ser oposto ao número 5. Se eles forem adjacentes, é possível uma das somas resultar em um número não múltiplo de 3.
Como podemos rotacionar a posição do 1 seis vezes, temos:
4 pares de números adjacentes ao 1 x 2 formas diferentes de posicioná-los x 6 posições diferentes em que 1 pode estar.
4x2x6 = 48.