Questão 13
IME 2016
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a . A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:
Gabarito:
Resolução:
Observe que na figura formada podemos encontrar vários triângulos retângulos pitagóricos de lados proporcionais a 3,4,5.
Temos que a soma dos ângulos e
vale 90°
A partir disso podemos encontrar um novos triângulos retângulos pitagóricos, em que um de seus catetos é a medida do lado do quadrado no centro.
A hipotenusa desse triângulo vale o lado do quadrado maior sobre 4. Considere o lado do quadrado de dentro l, e o lado do quadrado maior a.
Temos que:
Então a área do quadrado menor vale: