Questão 9

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida $a$ . Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de $a$ .

Gabarito:

Resolução:

Pelo enunciado temos que $h = sqrt{m.n}$ .

Pela fórmula de Stewart:

$b^{2}m+c^{2}n - h^{2}a = m.n.a$

Como AD é bissetriz, temos que:

$m = frac{a.c}{b+c}$

$n = frac{a.b}{b+c}$

Jogando na fórmula:

$c^{2}frac{a.b}{b+c}+b^{2}frac{a.c}{b+c} - frac{a.c}{b+c}.frac{a.b}{b+c}a = frac{a.c}{b+c}.frac{a.b}{b+c}a$

$c+b =frac{2a^{2}}{b+c}$

$asqrt{2} = b+c$

Pelo enunciado temos que : $G = sqrt{bc}$

Como AM é mediana, m e n valem $frac{a}{2}$

Jogando na fórmula:

$c^{2}frac{a}{2}+b^{2}frac{a}{2}+bca = frac{a}{2}frac{a}{2}a$

$frac{c^{2}}{2}+frac{b^{2}}{2} + bca = frac{a^{3}}{4}$

$left(b-c ight )^{2} = frac{a^{2}}{2}$

$b-c = frac{asqrt{2}}{2}$

Com isso:

$c = frac{asqrt{2}}{4}$

$b = frac{3asqrt{2}}{4}$

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