Questão 6

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18, 5/6). Determine:

• a equação da circunferência circunscrita do triângulo ABC;

• as coordenadas dos vértices B e C.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos a coordenada E do circuncentro. Sabemos que o circuncentro, é o centro da circunferência circunscrita no triângulo. Logo, essa circunferência passa pela origem A e tem seu centro em $left(frac{55}{18},frac{5}{6} ight )$ . O raio da circunferência vai ser dado pelo módulo do vetor AE;

$R = sqrt{left(frac{55}{18} ight )^{2} + left(frac{5}{6} ight )^{2}} = sqrt{frac{1625}{162}}$

Dessa forma, a equação da circunferência vai ser:

$left(x - frac{55}{18} ight )^{2} + left(y - frac{5}{6} ight )^{2} = frac{1625}{162}$

Agora considere os pontos $Cleft(C_{x}, C_{y} ight )$ e $Bleft(B_{x},B_{y} ight )$

Como D é baricentro do triângulo ABC, temos que:

$frac{A+B+C}{3} = D$

$left{egin{matrix} frac{0+C_{x}+B_{x}}{3} = 3\ frac{0+C_{y}+B_{y}}{3} = 2 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} C_{x} = 9 - B_{x}\ C_{y} = 6 - B_{y} end{matrix} ight.$

Considere P o ponto médio de BC.

$P = frac{B+C}{2}$

$P = left(frac{9}{2}, 3 ight )$

Considere Q o ponto médio de AB

$Q = frac{A+B}{2}$

$Q= left(frac{B_{x}}{2}, frac{B_{y}}{2} ight )$

As retas que ligam QE e PE que ligam os pontos médios ao circuncentro E são perpendiculares aos lados AB e BC.

Dessa forma, temos que:

$frac{6-2B_{y}}{9-2B_{x}} .frac{frac{5}{6} - 3}{frac{55}{18} - frac{9}{2}} = -1$

$frac{B_{y}}{B_{x}}. frac{frac{5}{6} - frac{B_{y}}{2}}{frac{55}{18} - frac{B_{x}}{2}} = -1$

Com essas duas equações chegamos no sistema:

$left{egin{matrix} 2B_{x} + 3B_{y} = 18\ 9B_{x}^{2} - 55B_{x}+ 9B_{y}^{2} - 15B_{y} = 0 end{matrix} ight.$

$9B_{x}^{2} - 55B_{x} + 9left(frac{18 - 2 B_{x}}{3} ight )^{2} - 15left( frac{18 - 2B_{x}}{3} ight) = 0$

$B_{x}^{2} - 9B_{x} + 18 = 0$

$B_{x} = 3;6$

Substituindo na primeira equação:

$B_{y} = 4;2$

Voltando na equação $left{egin{matrix} C_{x} = 9 - B_{x}\ C_{y} = 6 - B_{y} end{matrix} ight.$ , temos que:

$C_{x} = 6;3$

$C_{y} = 2;4$

Logo, temos que :

$B = left(3,4 ight )$

$C = left(6,2 ight )$

ou

$B = left(6,2 ight )$

$C = left(3,4 ight )$

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