Questão 38780

IME 2016

Matemática

(IME 2016/2017 - 2ª fase - ADAPTADA) Resolva a inequação, onde $x epsilon R.$

$frac{9x^2}{(1-sqrt{3x+1})^2}>4$

$R_+^*$

OBS: Alternativa única, questão discursiva.

N.D.A.

Gabarito:

$R_+^*$

OBS: Alternativa única, questão discursiva.

Resolução:

1) Condição de existência:

$left{egin{matrix} 1-sqrt{3x+1} eq 0\ 3x+1 geq 0 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} x eq 0\ x geq frac{-1}{3} end{matrix} ight.$

Respeitadas as condições de existência prosseguimos....

2) Subtraindo 4 de ambos os lados da desigualdade:

$frac{9x^2}{(1-sqrt{3x+1})^2}-4>0$

$frac{9x^2-4(1-sqrt{3x+1})^2}{(1-sqrt{3x+1})^2}>0$

Como o termo do denominador é um quadrado, este é sempre positivo. Logo, para resolver a inequação basta garantirmos que o termo do numerador é positivo, logo:

${9x^2-4(1-sqrt{3x+1})^2}>0$

Por questão de simplicidade, podemos fazer que:

$y = sqrt{3x+1} ,,,,, (y geq 0)$

$herefore x = frac{y^2-1}{3} Rightarrow 9x^2 = (y^2-1)^2$

Substituindo na inequação, temos:

$(y^2-1)^2-4(1-y)^2 > 0$

$[(y^2-1)+2(1-y)][(y^2-1)-2(1-y)] > 0 Rightarrow (y^2-2y+1)(y^2+2y-3) > 0$

Logo, teremos que:

$(y-1)^2(y^2+2y-3)>0$

E a solução será dada por:

$left{egin{matrix} y eq 1\ y^2+2y - 3> 0 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} y eq 1\ y > 1 ,,, ou ,,, y < -3 end{matrix} ight.$

Respeitano as oniçõs de existência temos:

$y = sqrt{3x + 1} > 1 Rightarrow x > 0$

Questões relacionadas

Questão 1

(IME - 2016/2017 - 1ª fase) Assinale a alternativa verdadeira:

Ver questão

Questão 2

(IME - 2016/2017 - 1ª fase) O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. Pode-se afirmar que:

Ver questão

Questão 1440

(IME - 2016/2017 - 1ª fase) Sejam Z1 e Z2 números complexos tais que Z2 é imaginário puro e |Z1-Z2|=|Z2|. Para quaisquer valores de Z1 e Z2 que atendam a essas condi&c...

Ver questão

Questão 4

(IME - 2016/2017 - 1ª fase) No desenvolvimento de o valor do termo independente de x é igual a 63/256 . Considerando que β é um número real, com 0 < β...

Ver questão