Questão 4

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado e impossível de acordo com os valores reais de m.

$left{egin{matrix} (m-2)x+2y-z=m+1 \2x+my+2z=m^{2}+2 \ 2mx+2(m+1)y+(m+1)z=m^{3}+3 end{matrix} ight.$

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente , o sistema será determinado se o determinante da matriz construida pelos coeficientes do sistema for diferente de 0.

$egin{vmatrix} m-2 & 2 &-1 \ 2& m &2 \ 2m&2left(m+1 ight )& left(m+1 ight ) end{vmatrix}$

$det = m(m^{2} - m -2) + 8m -4m-4 -left(4left(m^{2}-m-2 ight ) +4m+4 -2m^{2} ight )$

$det = m^{3} - 3m^{2}+2m$

$det = mleft(m^{2} - 3m + 2 ight )$

$det = mleft(m - 1 ight )left(m-2 ight )$

Então para o sistema ser determinado, $m eq 0; m eq 1; m eq 2$

Se o determinante for igual a 0, o sistema pode ser indeterminado ou impossível.

Usando o valor de m = 0, vamos construir uma nova matriz a partir do sistema original.

$egin{vmatrix} -2 & 2 & -1 &1 \ 2 & 0 & 2 &2 \ 0 & 2 & 1 &3 end{vmatrix}$

Vamos escalonar essa matriz. Somando a primeira linha com a segunda:

$egin{vmatrix} -2 & 2 & -1 &1 \ 0 & 2 & 1 &3 \ 0 & 2 & 1 &3 end{vmatrix}$

Fazendo a terceira linha menos a segunda

$egin{vmatrix} -2 & 2 & -1 &1 \ 0 & 2 & 1 &3 \ 0 & 0 & 0 &0 end{vmatrix}$

Com isso temos um sistema de duas equações com 3 incógnitas. Isso caracteriza um sistema possível e indeterminado.

m = 0 , sistema possível indeterminado

Agora fazendo m = 1

$egin{vmatrix} -1 & 2 & -1 &2 \ 2 & 1 & 2 &3 \ 2 & 4 & 2 &4 end{vmatrix}$

Somando 2 vezes a primeira com a segunda e subtraindo a segunda da terceira:

$egin{vmatrix} -1 & 2 & -1 &2 \ 0 & 5 & 0 &7 \ 0 & 3 & 0 &1 end{vmatrix}$

Observe que a segunda e a terceira linha indicam um sistema impossível:

$left{egin{matrix} 5y = 7\ 3y = 1 end{matrix} ight.$

Então, para m = 1 o sistema é impossivel.

m = 2

$egin{vmatrix} 0 & 2 & -1 &3 \ 2 & 2 & 2 &6 \ 4 & 6 & 3 &11 end{vmatrix}$

Trocando a segunda linha com a primeira. Depois subtraindo menos 2 vezes a nova primeira da quarta

$egin{vmatrix} 2 & 2& 2 &6 \ 0 & 2 & -1 &3 \ 0 & 2 & -1 &-1 end{vmatrix}$

Somando menos a segunda com a terceira

$egin{vmatrix} 2 & 2& 2 &6 \ 0 & 2 & -1 &3 \ 0 & 0& 0 &-4 end{vmatrix}$

A terceira equação é do tipo 0 = -4, o que é impossível.

Para m = 2 o sistema é impossível.