Questão 7

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Se $frac{cosx}{cosy}+frac{senx}{seny}=-1,$ calcule o valor S.

$S=frac{3cosy+cos3y}{cosx}+frac{3seny-sen3y}{senx}$

Gabarito:

Resolução:

Da primeira equação temos que:

$frac{cosx}{cosy}+frac{senx}{seny}=-1,$

$frac{cosxseny + senxcosy}{cosyseny} = -1$

$senleft(x+y ight ) = - cosyseny$

Trabalhando S:

$frac{3cosy+cos3y}{cosx}+frac{3seny-sen3y}{senx}$

Lembrando das formulas de sen4a e cos 4a, temos que:

$frac{3cosy + 4cos^{3}y - 3cosy}{cosx} + frac{3seny + 4sen^{3}y - 3seny}{senx}$

$frac{ 4cos^{3}y }{cosx} + frac{ 4sen^{3}y }{senx}$

$4left( frac{ cos^{3}y }{cosx} + frac{ sen^{3}y }{senx} ight)$

$4left( frac{ cosyleft(1-sen^{2}y ight ) }{cosx} + frac{senyleft(1-cos^{2}y ight ) }{senx} ight)$

$4left(frac{cosysenx+senycosx - cosysen^{2}ysenx -senycos^{2}ycosx}{cosxsenx} ight )$

$4left(frac{senleft(x+y ight ) - senycosyleft(senxseny - cosxcosy ight )}{cosxsenx} ight )$

$4left(frac{senleft(x+y ight ) + senleft(x+y ight )left(senxseny - cosxcosy ight )}{cosxsenx} ight )$

$frac{4.senleft(x+y ight )}{cosxsenx}left(1+left(senxseny - cosxcosy ight ) ight )$

$frac{4.senleft(x+y ight )}{cosxsenx}left(1+cosleft(x-y ight ) ight )$

Agora utilizando uma propriedade que vai nos ajudar a resolver isso:

$cos2 heta = cos^{2} heta-sen^{2} heta$

$cos2 heta = cos^{2} heta -left( 1- cos^{2} heta ight)$

$cos2 heta = 2cos^{2} heta -1$

$1+ cos2 heta = 2cos^{2} heta$

Voltando no desenvolvimento de S:

$frac{4.senleft(x+y ight )}{cosxsenx}left(1+cosleft(x-y ight ) ight )$

$frac{4.senleft(x+y ight )}{cosxsenx}left(2cos^{2}left(frac{x+y}{2} ight ) ight )$

Outra propriedade:

$sen2 heta = 2sen heta cos heta$

$frac{8.2}{cosxsenx} senleft(frac{x+y}{2} ight )cosleft(frac{x+y}{2} ight)cos^{2}left(frac{x-y}{2} ight )$

Reorganizando:

$frac{8.2}{cosxsenx} senleft(frac{x+y}{2} ight )cosleft(frac{x-y}{2} ight)cosleft(frac{x+y}{2} ight )cosleft( frac{x-y}{2} ight )$

Lembrando que:

$senleft(a+b ight ) = senacosb+senbcosa$

$senleft(a-b ight ) = senacosb-senbcosa$

somando as duas:

$senleft(a+b ight )+senleft(a-b ight ) = 2senacosb$

$senacosb = frac{1}{2}left(senleft(a+b ight ) +senleft(a-b ight ) ight )$

Lembrando também:

$cosleft(a+b ight ) = cosacosb -senasenb$

$cosleft(a-b ight ) = cosacosb +senasenb$

Então:

$cosacosb = frac{1}{2}left(cosleft(a+b ight )+ cosleft(a-b ight ) ight )$

Voltando:

$frac{8.2}{cosxsenx} senleft(frac{x+y}{2} ight )cosleft(frac{x-y}{2} ight)cosleft(frac{x+y}{2} ight )cosleft( frac{x-y}{2} ight )$

$frac{16}{cosxsenx}left(frac{1}{2}left(seny+senx ight ). frac{1}{2}left(cosx+cosy ight) ight )$

$frac{4}{cosxsenx}left(senycosx+senycosy+senxcosx+senxcosy ight )$

Novamente vamos utilizar a relação do começo $seycosx + senx cosy = -senycosy$

$frac{4}{cosxsenx}left(-senycosy + senycosy + senxcosx ight )$

$frac{4}{cosxsenx}left( senxcosx ight )$

$S = 4$

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