Questão 10

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE )

Seja o seguinte sistema de equações, em que S é um número real:

$left{egin{matrix} x_1 + x_2 - sx_3 = 0 & \ -2x_1+ x_2 + x_3 = 1& \ sx_1 - 2x_2 = 0 & end{matrix} ight.$

Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.

S < - 2

-2 < S < 0

0 < S < 1

1 < S < 2

S > 2

Gabarito:

1 < S < 2

Resolução:

Utilizando a regra de Cramer, iremos encontrar o intervalo de valores de s para os quais, as raízes são sempre negativas.

Temos que o determinante D do sistema é:

$detegin{bmatrix} 1 &1 & -s \ -2 & 1 &1 \ s&-2 & 0 end{bmatrix}$

D = 1.1.0 + 1.1.s + (-2).(-2).(-s) - ( -s)(1)(s) - (1)(2)(0) - (1)(1)(-2).

$D = s - 4s + s^{2} + 2 = left(s-1 ight )left(s-2 ight )$

$D1 = detegin{bmatrix} 0 &1 &-s \ 1 & 1 &1 \ 0& -2 & 0 end{bmatrix}$

$D1 = 2s$

$x1 = frac{D1}{D}$

$x1 = frac{2s}{left(s-1 ight)left(s-2 ight )}$

Para que x1 seja negativo:

s < 0 e 1 < s < 2

$D2 = detegin{bmatrix}1 &0 &-s \ -2 & 1 &1 \ s& 0 & 0 end{bmatrix}$

$D2 = s^{2}$

$x2 = frac{D2}{D}$

$x2 = frac{s^{2}}{left(s-1 ight)left(s-2 ight )}$

Para que x2 seja negativo:

1 < s <2

$D3 = detegin{bmatrix}1 &1&0 \ -2 & 1 &1 \ s& -2 & 0 end{bmatrix}$

$D2 = s+2$

$x3 = frac{D3}{D}$

$x3= frac{s+2}{left(s-1 ight)left(s-2 ight )}$

Para que x3 seja negativo:

s < -2 e 1< s < 2.

Logo, a interseção entre os 3 intervalos é:

1< s < 2.

(1,2)

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