Questão 11

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE )

Determine o valor de $a$ na expressão abaixo, sabendo-se que 0 < a < 1,

onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:

2^4.033Z² - 2²⁰¹⁷Z+1 = 0

Obs.: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z

A

$frac{1}{4}$

B

$frac{1}{8}$

C

$frac{1}{16}$

D

$frac{1}{32}$

E

$frac{1}{64}$

Gabarito:

$frac{1}{4}$

Resolução:

Vamos primeiramente encontrar a parte imaginária de z, que corresponde à primeira expressão.

$2^{4033}z^2 - 2^{2017}z +1 = 0$

Note que o dobro de 2017 é 4034. Logo, se multiplicarmos toda a equação por 2, os expoentes dessas potencias vão aumentar em 1.

$2^{4034}z^2 - 2. 2^{2017}z +2 = 0$

Chamando x de $2^{2017}z$ , temos que:

$x^{2} + 2x + 2 = 0$

$x^{2} + 2x + 1 = -1$

$left(x+1 ight )^{2} = -1$

$x + 1 = +- i$

$x = -1 +- i$

Temos então que o número Z na forma algébrica é:

$x = 2^{2017}z$

$-1 +- i = 2^{2017}z$

$z = frac{1}{2^{2017}} +- ifrac{1}{2^{2017}}$

$Imleft { z ight } = +- frac{1}{2^{2017}}$

Ainda não sabemos para qual sinal esse valor atende à expressão proposta.

$+- frac{1}{2^{2017}} = frac{1}{16}log_{a}256^{...^{colog_{a^{65}256}}}$

sabemos que colog = -log

e que $log_{a}b^{x} = xlog_{a}b$

Passando o $frac{1}{16}$ para o outro lado, temos:

$+- 2^{-2017}. 2^{4} = log_{a}256. left(-log _{a^{2}}256 ight )... left(-log_a^{65}256 ight )$

Note que o sinal fica oscilando de -1 para -1 a cada termo. O sinal dessa multiplicação toda é dado então por:

$left(-1 ight )^{0}left(-1 ight )^{1}left(-1 ight )^{2}...left(-1 ight )^{65}$

Outra propriedade que irá nos ajudar a isolar as potências de a é:

$log_{a^{x}}b =frac{1}{x}log_{a}b$

Logo podemos isolar todos os a dos logs a partir dessa multiplicação:

$frac{1}{2^{0}}.frac{1}{2^{2}}.frac{1}{2^{2}}....frac{1}{2^{65}}$

Resta a multiplicação de todos os logs, que se repete 66 vezes.

$left(log_{a}256 ight )^{66}$

Reunindo todas essas informações:

$+- 2^{-2017}. 2^{4} = left(-1 ight )^{0}left(-1 ight )^{1}left(-1 ight )^{2}...left(-1 ight )^{65}.frac{1}{2^{0}}.frac{1}{2^{2}}.frac{1}{2^{2}}....frac{1}{2^{65}}.left(log_{a}256 ight )^{66}$

Agora sabemos que os dois lados são negativos.

$- 2^{-2013} = left(-1 ight ). frac{1}{2^{2145}} . left(log_{a}2^{8} ight )^{66}$

$- 2^{-2013} = left(-1 ight ). frac{1}{2^{2145}} . left(log_{a}2^{8} ight )^{66}$

$- 2^{-2013} = left(-1 ight ). frac{1}{2^{2145}} . 2^{3.66}left(log_{a}2 ight )^{66}$

$- 2^{-2013} = left(-1 ight ). frac{2^{198}}{2^{2145}} . left(log_{a}2 ight )^{66}$

$-2^{-2013}2^{1947} = - left(log_{a}2 ight )^{66}$

$-2^{-66} = - left(log_{a}2 ight )^{66}$

$log_{a}2 = +- 2^{-1}$

$a = 4; frac{1}{4}$

como 0 < a < 1.

a = $frac{1}{4}$

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