Questão 12

Gabarito:

(3,4)

Resolução:

Temos a equação fundamental da trigonometria:

cos² + sen² = 1

Sendo  = arcsen(3/5), temos:

sen() = 3/5 e cos() = 4/5 ou sen() = 3/5 e cos() = -4/5.

Desse modo, temos que tg() = 3/4 ou tg() = -3/4.

Assim, temos as equações:

arctg(3x/4) = 2/(x+2)

arctg(-3x/4) = 2/(x+2)

Contudo, o enunciado quer que encontremos a menor raíz positiva, assim x > 0, então vamos considerar apenas a primeira equação:

arctg(3x/4) = 2/(x+2)

tg(2/(x+2)) = 3x/4 ; com 0 < 2/(x+2) < /2

Seja f(x) = tg(2/(x+2)) - 3x/4.

Sabemos que tg(2/(x+2)) e -3x/4 são estritamente decrescentes com x > 0. Assim, f(x) é estritamente decrescente com x > 0.

Quando f(x) = 0, temos a solução da equação tg(2/(x+2)) = 3x/4, então vamos analisar o intervalo onde há um x tal que f(x) = 0:

 

Para x = 3, temos:

arctg(9/4) = 2/5 = 72º

Sabendo que cos(36º) = (√5 + 1)/4, temos que cos(72º) = 2*cos²(36º) - 1 = (√5 - 1)/4

Temos ainda, que sen²(72º) = 1 - cos²(72º) = √(10 + 2√5) /4

Assim, tg(72º) =  √(10 + 2√5) / (√5 - 1)   3 > 9/4

Então, f(3) = 3 - 9/4 > 0

 

Para x = 4, temos:

arctg(3) = /3 = 60º

tg(60º) = √3 < 3

Então, f(4) = √3 - 3 < 0

 

Logo, concluímos que há um x entre 3 e 4 que satisfaz a equação tg(2/(x+2)) = 3x/4