Questão 13

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE )

Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3 Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY na origem, têm as seguintes equações:

A

$y^{2} = pm 2 frac{sqrt{35}}{7}x$

B

$y^{2} = pm 4 frac{sqrt{5}}{7}x$

C

$y^{2} = pm 6 frac{sqrt{5}}{7}x$

D

$y^{2} = pm 6 frac{sqrt{35}}{7}x$

E

$y^{2} = pm 8 frac{sqrt{35}}{63}x$

Gabarito:

$y^{2} = pm 8 frac{sqrt{35}}{63}x$

Resolução:

Primeiramente devemos descobrir as coordenadas dos focos da elipse.

Sabemos que na elipse:

$a^{2}= b^{2}+ c^{2}$

$5^{2} = left(frac{10}{3} ight )^{2} + c^{2}$

$c = frac{sqrt{25}}{3} = frac{5sqrt{5}}{3}$

então a hipébole tem seus vértices localizados em:

$left(-frac{5sqrt{5}}{3},0 ight ),left(frac{5sqrt{5}}{3},0 ight )$

Sendo a equação padrão da elipse com focos no eixo x:

$frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

temos para essa elipse a equação:

$frac{x^{2}}{25} + frac{9y^{2}}{100} = 1$

Para a hipébole, sabemos que $a = frac{5sqrt{5}}{3}$ $c = 5$

Como: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$b = frac{10}{3}$

Sendo a equação padrão da hipébole com vértices no eixo x:

$frac{x^{2}}{a^{2}} - frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

temos para essa hipébole a equação:

$frac{9x^{2}}{125} - frac{9y^{2}}{100} = 1$

Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas equações. Vamos somá-las então:

$frac{x^{2}}{25} + frac{9x^{2}}{125} = 2$

$x = +- frac{5sqrt{35}}{7}$

Substituindo x na equação da elipse:

$frac{5}{7} +frac{9y^{2}}{100} = 1$

$y = +- frac{10sqrt{14}}{21}$

A equação padrão da parábola da direita será:

$y^{2} =px$

$p = frac{y^{2}}{x}$

$p = frac{left(frac{10sqrt{14}}{21} ight )^{2}}{frac{5sqrt{35}}{7}}$

$p = frac{8sqrt{35}}{63}$

Então a equação é:

$y^{2} = frac{8sqrt{35}}{63}x$

A equação da parábola da esquerda será:

$y^{2} = -frac{8sqrt{35}}{63}x$

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