Questão 1

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Seja o número complexo z que satisfaz a relação $2(z-i)^{2017} = (sqrt{3}+i)(iz-1)^{2017}$ . Determine z, sabendo- se que

$|z|=frac{sqrt{3}}{3}$

Gabarito:

Resolução:

Comecemos escrevendo z na sua forma retangular:

$z=a+bi$

onde sabe-se que

$a^2+b^2=frac{1}{3}$

Vamos agora reescrever a equação do enunciado:

$2(a+bi-i)^{2017} = (sqrt{3}+i)(ia-b-1)^{2017}$

tirando módulo de ambos os lados obtemos:

$|2(a+bi-i)^{2017}| = |(sqrt{3}+i)(ia-b-1)^{2017}|\\Rightarrow 2|a+bi-i|^{2017} = |sqrt{3}+i|cdot|ia-b-1|^{2017}\\Rightarrow 2sqrt{a^2+(b-1)^2}^{2017}=sqrt{3+1}sqrt{(-b-1)^2+a^2}^{2017}\\Rightarrow a^2+b^2-2b+1=a^2+b^2+2b+1\\Rightarrow b=0$

agora nos resta duas opçõe para z:

$egin{cases} z=frac{sqrt{3}}{3}\ z=-frac{sqrt{3}}{3} end{cases}$

vamos testar as duas:

$2left(frac{sqrt{3}}{3}-i ight)^{2017} = (sqrt{3}+i)left(ifrac{sqrt{3}}{3}-1 ight)^{2017}\\Rightarrow 2left[frac{2sqrt{3}}{3}left(frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight) ight]^{2017} = 2left(frac{sqrt{3}}{2}+ifrac{1}{2} ight)left[frac{2sqrt{3}}{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}+ifrac{1}{2} ight) ight ]^{2017}$

agora vamos usar a forma trigonométrica e fazer algumas simplificações:

$left(frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight)^{2017} = left(frac{sqrt{3}}{2}+ifrac{1}{2} ight)left(-frac{sqrt{3}}{2}+ifrac{1}{2} ight)^{2017}\\Rightarrow left[ ext{cis}left(-frac{pi}{3} ight ) ight]^{2017} = ext{cis}left(frac{pi}{6} ight)left[ ext{cis}left(frac{5pi}{6} ight ) ight]^{2017}\\Rightarrow ext{cis}left(-frac{2017pi}{3} ight ) = ext{cis}left(frac{pi}{6}+frac{2017cdot 5pi}{6} ight )$

essa última igualdade será verdadeira se a diferença entre o argumento da esquerda e o da direita for um múltiplo inteiro de 2π:

$frac{pi}{6}+frac{2017cdot 5pi}{6}+frac{2017pi}{3} =picdotfrac{2017cdot7+1}{6}=picdotfrac{2017cdot6+2017+1}{6}\=pi 2017+pifrac{2018}{6}=pi 2017+pifrac{2016+2}{6}=2017pi+336pi+frac{pi}{3}$

que não atende à condição.

Vamos agora testar a segunda possibilidade:

$2left(-frac{sqrt{3}}{3}-i ight)^{2017} = (sqrt{3}+i)left(-ifrac{sqrt{3}}{3}-1 ight)^{2017}\\Rightarrow 2left[frac{2sqrt{3}}{3}left(-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight) ight]^{2017} = 2left(frac{sqrt{3}}{2}+ifrac{1}{2} ight)left[frac{2sqrt{3}}{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}-ifrac{1}{2} ight) ight ]^{2017}$

usando as mesmas simplificações e forma trigonométrica:

$left[ ext{cis}left(-frac{2pi}{3} ight ) ight]^{2017} = ext{cis}left(frac{pi}{6} ight)left[ ext{cis}left(-frac{5pi}{6} ight ) ight]^{2017}\\Rightarrow ext{cis}left(-frac{2017cdot 2pi}{3} ight ) = ext{cis}left(frac{pi}{6}-frac{2017cdot 5pi}{6} ight )$

fazendo a verificação da diferença entre os argumentos:

$frac{pi}{6}-frac{2017cdot 5pi}{6}+frac{2017cdot 2pi}{3} =frac{pi-2017pi}{6}\=-frac{2016pi}{6}=-336pi=(-168)cdot(2pi)$

sendo portanto um múltiplo inteiro de 2π. Sendo assim a solução única é:

$z=-frac{sqrt{3}}{3}$

Questão 1

IME 2017

Questões relacionadas

Questão 4

Questão 15

Questão 1

Questão 2