Questão 6
IME 2017
(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )
Seja a matriz , com k real.
Determine a faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas simultaneamente:
a) ATP + PA = I em que AT é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade;
b) P seja simétrica
c) P11 > 0 , em que P11 é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P
d) |P| > 0, em que |P| é o determinante da matriz P
Gabarito:
Resolução:
RESPOSTA: A faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P satisfazendo as condições dadas é .
Solução:
Condição 2:
condição 1: Sabendo que podemos montar um sistema, feito isso, será possível observar que a = ( k + 16)/2(k + 2)(K + 6).
condição 3: p11 > 0 , logo, a > 0, assim temos que -16 < k < -6 ou k > -2 .
condição 4: |P| > 0. Fazendo o determinante da matriz P obteremos (K + 6)(k² + 4k + 53) > 0. k > -6 , k > -2 , ou seja, k ( -2 , +
).