Questão 4

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Sejam a,b,c, e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que log_a d, log_b d e log_c d são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a,b e c formam uma progressão aritmética em que a < b < c

sabendo-se que b = b^log_a b -a, determine:

a) Os valores de a,b e c

b) As razões das progressões aritméticas e geométrica, r e q, respectivamente.

Gabarito:

Resolução:

$log_{a}d, log_{b}d, log_{c}d$ formam uma Pg. Logo,

$log_{a}d. log_{c}d = left(log_{b}d ight)^{2}$

Por mudança de bases:

$frac{1}{left( log_{d}b ight )^{2}} = frac{1}{log_{d}a}. frac{1}{log_{d}c}$

$frac{log_{d}c}{log_{d}b} = frac{log_{d}b}{log_{d}a}$

$log_{b}c = log_{a}b$

No enunciado é dito que:

$b = b^{log_{a}b}-a$

então,

$b + a = b^{log_{b}c}$

(I) $b + a = c$

Já que (a,b,c) formam uma Pa crescente de razão R, temos que:

$b + b - r = b + r$

Assim , sabemos que:

$a = r; b = 2r; c = 3r;$

Utilizando esses valores:

$b + a = b^{log_{a}b}$

$3r = 2r^{log_{r}2r}$

$3r = 2^{log_{r}2r} . r^{log_{r}2r}$

$frac{3}{2} = 2^{log_{r}2r}$

$log_{2}frac{3}{2} = log_{r}2r$

$log_{2}frac{3}{2} = log_{r}2 + 1$

$log_{2}frac{3}{4} = log_{r}2$

$r^{log_{2}frac{3}{4}} = 2$

$r=2^{Log_{frac{3}{4}}2}$

Com a = r; b = 2r; c = 3r;

A razão q da pg é dada pela divisão de um termo por seu antecessor:

$q = frac{log_{b}d}{log_{a}d} = log_{b}a = log_{2^{k+1}}2^{k}$

$q = frac{k}{k+1} = frac{log_{frac{3}{4}}2}{log_{frac{3}{4}frac{3}{2}}}$

$q = log_{frac{3}{2}}2$

Questões relacionadas

Questão 4

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Seja f(x) uma função definida no conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(...

Ver questão

Questão 15

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28 cm2. Ca...

Ver questão

Questão 1

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE ) Considere as alternativas: I. O inverso de um irracional é sempre irracional. II. Seja a função f: A -> B e X e Y dois sub...

Ver questão

Questão 2

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x-1 é 1431, então a sua...

Ver questão