Questão 3

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Sabendo que $|x|leq frac{pi}{6}$ e que x satisfaz a equação abaixo

$frac{3-cos x(4 cosx + senx)}{10sen^{2}x-8 senx cdot cosx} = frac{1}{2}$

Determine os possíveis valores de x

Gabarito:

Resolução:

Vamos resolver essa equação e depois testar para qual valor de x a condição anterior é cumprida.

$frac{3-cos x(4 cosx + senx)}{10sen^{2}x-8 senx cdot cosx} = frac{1}{2}$

$2left(3 - 4cos^{2}x - senx.cosx ight) = 10sen^{2}x - 8senx.cosx$

$6 - 8cos^{2}x - 2senx.cosx = 10sen^{2}x - 8senx.cosx$

$10sen^{2}x - 8senx.cosx + 8cos^{2}x + 2senx.cosx - 6 =0$

Lembrando da identidade trigonométrica: $sen^{2}x + cos^{2}x = 1$ , podemos assumir que:

$6sen^{2}x + 6cos^{2}x = 6$

Então:

$4 sen^{2}x - 8senx.cosx + 2cos^{2}x + 2senx.cosx = 0$

$4 sen^{2}x - 6senx.cosx + 2cos^{2}x = 0$

Dividindo tudo por $cos^{2}x$

$frac{4sen^{2}x}{cos^{2}x} + frac{2cos^{2}x}{cos^{2}x} - frac{6senx.cosx}{cos^{2x}}$

$4tg^{2}x + 2 - 6tgx$

$Delta = left(-6 ight )^{2} - left(4 ight )left(4 ight )left(2 ight )$

$Delta = 4$

$tg x = frac{6+- 2}{8}$

$tg x = frac{1}{2}; 1$

Se o módulo de x deve ser menor ou igual a $frac{pi}{6}$ , tgx não pode ser 1.

Logo:

$x = arctanleft(frac{1}{2} ight )$

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