Questão 7

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Determine todos os números primos p, q e r tais que 35p + 11pq + qr = pqr.

Gabarito:

Resolução:

$35p + 11pq + qr = pqr$

$qr = pqr - 11pq - 35p$

$qr = p left(qr - 11q - 35 ight )$

Temos que essa situação só é possível se p divide o produto qr. Como os números são primos entre si, ou p =q, ou p =r.

Para o caso de p = q

$r = qr - 35 - 11q$

$r+ 35 = qr - 11q$

$q = frac{r+35}{r - 11}$

$q = frac{r-11}{r - 11} + frac{46}{r-11}$

$q = 1 + frac{46}{r-11}$

Como que deve ser um número primo inteiro, devemos achar todos os r para os quais (r-11) é divisor de 46

46 é divisivel por:

$1 ightarrow r = 12$ não é primo

$-1 ightarrow r = 10$ não é primo

$2 ightarrow r = 13$ é primo mas substituindo na equação, q não vai ser primo.

$-2 ightarrow r = 9$ não é primo

$23 ightarrow r = 34$ não é primo

$-23 ightarrow r = 12$ não é primo

$46 ightarrow r = 57$ não é primo

$-46 ightarrow r = -35$ não é primo

Dessa forma p = q não nos dá nenhum caso favorável.

Caso p = r

$q = qr -11q - 35$

$35 = qleft(r - 12 ight )$

$q = frac{35}{r-12}$

Como anteriormente, r- 12 deve ser divisor de 35.

$1 ightarrow r = 13$ é primo mas q não irá ser primo

$-1 ightarrow r = 10$ não é primo

$5 ightarrow r = 17$ q = 7

$-5 ightarrow r = 7$ q = -7

$7 ightarrow r = 19$ q = 5

$-7 ightarrow r = 5$ q = -5

Então:

$p = r = 19; q = 5$

$p = r = 5; q = -5$

$p = r = 17; q = 7$

$p = r = 7; q = -7$

Questões relacionadas

Questão 4

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Seja f(x) uma função definida no conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(...

Ver questão

Questão 15

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28 cm2. Ca...

Ver questão

Questão 1

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE ) Considere as alternativas: I. O inverso de um irracional é sempre irracional. II. Seja a função f: A -> B e X e Y dois sub...

Ver questão

Questão 2

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE) Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x-1 é 1431, então a sua...

Ver questão