Questão 5

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE)

Um ônibus escolar transporta n crianças. Sejam A o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus. Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam independentes.

Gabarito:

Resolução:

Um evento A é dito independente de B, se:

$Pleft(A cap B ight ) = Pleft(A ight ). P left(B ight )$

Vamos chamar de A o evento em que temos crianças de ambos os sexos no ônibus.

A probabilidade de A é dada pelo total do espaço amostral menos as probabilidades de termos só meninos e meninas.

Seja n o número de crianças, temos que a chance de só termos um sexo no ônibus é dada por $frac{1}{2^{n}}$ . Logo,

$Pleft(A ight ) = 1 - frac{1}{2^{n}} - frac{1}{2^{n}} = 1 - frac{2}{2^{n}}$

A probabilidade de B é dada pela probabilidade de não ter nenhuma menina mais a probabilidade de ter somente uma menina:

$Pleft(B ight ) = frac{1}{2^{n}} + frac{C_{n,1}}{2^{2}} = frac{1+n}{2^{n}}$

Agora a probabilidade $Pleft(A cap B ight )$ , em que só há uma menina no ônibus:

$P = frac{C_{n,1}}{2^{n}} = frac{n}{2^{n}}$

Resta aplicar a condição $Pleft(A cap B ight ) = Pleft(A ight ). P left(B ight )$ .

$frac{n}{2^{n}} = left(1-frac{2}{2^{n}} ight) . left(frac{1+n}{2^{n}} ight)$

$frac{n}{1+n} = 1- frac{2}{2^{n}}$

$2^{n} = 2left(n+1 ight )$

$n = 3$

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