Questão 10

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE ) Seja um cubo regular, onde os centros de suas faces são vértices de um octaedro. Por sua vez, os centros das faces deste octaedro formado são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente octaedros e cubos infinitamente, determine a razão da soma do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicial.

Gabarito:

Resolução:

Se a aresta do cubo é $a$ , temos que a aresta $l$ do octaedro é dada por pitágoras:

$l^{2} = left(frac{a}{2} ight )^{2}. left(frac{a}{2} ight )^{2}$

$l = frac{asqrt{2}}{2}$

Esse octaedro é formado por duas pirâmides de base quadrada e de altura $frac{a}{2}$ . Dessa forma, seu volume é dado por:

$V = 2 . frac{1}{3} left(frac{asqrt{2}}{2} ight )^{2}.frac{a}{2}$

$V = frac{a^{3}}{6}$

$frac{1}{6}$ do volume do cubo.

Por semelhança, podemos relacionar o triângulo VAB com o triângulo VPQ.

Note que os vértices A e B são baricentros das faces do octaedro, e P e Q são pontos médios das arestas do octaedro.

$frac{AB}{PQ} = frac{VA}{VP} = frac{2}{3}$

$AB = frac{2}{3}MN = frac{2}{3}frac{lsqrt{2}}{2} = frac{lsqrt{2}}{3}$

A razão entre entre o volume desse cubo e o volume do octaédro é:

$frac{left( frac{lsqrt{2}}{3} ight )^{3}}{frac{l^{3}sqrt{2}}{3}} = frac{2}{9}$

Sendo V o volume do cubo inicial, temos que a soma dos pares cubo + octaedro é dada por:

$V + frac{V}{6} = frac{7V}{6}$

O para o próximo par , temos:

$frac{2}{9} . frac{V}{6} + frac{1}{6} .frac{2}{9}.frac{V}{6} = frac{1}{27}left(V + frac{V}{6} ight )$

Temos então que cada par Cubo/ Octaedro é um elemento de uma PG de razão $frac{1}{27}$

Somando os infinitos termos e retirando o volume do cubo inicial, encontraremos a razão dessa soma pelo volume inicial.

$S_{infty } An = frac{a_{1}}{1- q}$

$frac{frac{7V}{6}}{1- frac{1}{27}} - V$

$frac{27}{26}.frac{7V}{6} - V = frac{63V}{52} - V = frac{11V}{52}$

Então a razão é:

$frac{11}{52}$

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