Questão 39040

IME 2019

Matemática

(IME - 2013/2014 - Adaptada) Considere $log_{sqrt{b}}(a)^2=4$ , com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, número real, para que a equação $x^3-18x^2+[log_b(ab)^m+8-m]x-log_b(a)^{2m}=0$ tenha três raízes reais em progressão aritmética.

m = 92.

m = 93.

m = 94.

m = 95.

m = 96.

Gabarito:

m = 96.

Resolução:

Trabalhando com a primeira informação do enunciado:

$log_{sqrt{b}}a^2=4\\Rightarrow 2cdotfrac{1}{frac{1}{2}}log_b a=4\\Rightarrow 4log_b a=4\\Rightarrow log_b a=1\\Rightarrow a=b$

Substituindo esse resultado no polinômio:

$x^3-18x^2+[log_b (ab)^m+8-m]x-log_b a^{2m}=0\\Rightarrow x^3-18x^2+[log_b (b^2)^m+8-m]x-log_b b^{2m}=0\\Rightarrow x^3-18x^2+[2m+8-m]x-2m=0\\Rightarrow x^3-18x^2+[m+8]x-2m=0$

Agora vamos usar a informação de que as raízes estão em PA:

$\x_1=x_2-r\ x_3=x_2+r$

pelas relações de Girard temos:

$egin{cases} x_1+x_2+x_3=18\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=m+8\ x_1x_2x_3=2m end{cases}Rightarrow egin{cases} 3x_2=18\ x_2^2-rx_2+x_2^2+rx_2+x_2^2-r^2=m+8\ x_2(x_2^2-r^2)=2m end{cases}$

a primeira equação nos dá x₂=6, daí:

$egin{cases} 36+36+36-r^2=m+8\ 6(36-r^2)=2m end{cases}Rightarrow egin{cases} 108-r^2=m+8\ 108-3r^2=m end{cases}$

Isolando o r² na primeira equação e substiuindo na segunda obtemos:

$108-3(108-m-8)=m\\Rightarrow -216+24+3m=m\\Rightarrow 2m=192\\Rightarrow m=96$

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