Questão 1

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja $Asubseteq U$ o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e $Bsubseteq U$ o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de $A-B$ e de $B-A$ são, respectivamente:

Cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto

46 e 227

45 e 275

44 e 275

45 e 277

46 e 275

Gabarito:

46 e 275

Resolução:

$\A= { 1 } cup [ 10,19 ] cup [ 100,199 ] cup { 1000 } \1000= ( 33220 )^4$

$B= { 2 } cup [ 2cdot 4^2,3.4-1 ] cup [ 2cdot 4^3,3cdot 4^3-1 ] cup [ 2.4^4,3.4^4-1 ]$

$B=left { 2 ight } cup left [ 8,11 ight ] cup left [ 32,47 ight ] cup left [ 128,191 ight ] cup left [ 512,767 ight ]$

$A-B=left { 1 ight } cup left [ 12,19 ight ] cup left [ 100,127 ight ] cup left [ 192,199 ight ] cup left { 1000 ight }$

$left | A-B ight | = 1+8+28+8+1=46$

$B-A=left { 2 ight } cupleft [ 8,9 ight ] cup left [ 32,47 ight ] cup left [ 512,767 ight ]$

$left | B-A ight | = 1+2+16+256 = 275$

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