Questão 2

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020)

O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:

[1,16000]

[16001,17000]

[17001,18000]

[18001,19000]

[19001, ∞)

Gabarito:

[17001,18000]

Resolução:

$1800 = 2^3cdot 3^2cdot 5^2$

$D ( 1800 )= ( 3+1 )cdot (2+1)cdot (2+1)= 4cdot 3cdot 3=36$

1ª parte

Menores Números ímpares com a mesma quantidade de divisores:

$\N_1=3^{35}\N_2= 3^{17}cdot 5^1\N_3=3^{8}cdot 5^3\N_4=3^{8}cdot 5cdot 7\N_5=3^{5}cdot 5^5\N_6=3^5cdot 5^2cdot 7\N_7= 3^3.5^2.7^2\N_8= 3^2cdot 5^2cdot 7cdot 11$

2ª parte

$\ frac{N_1}{N_2}=frac{3^{18}}{5}Rightarrow N_1> N_2\\ frac{N_2}{N_3}=frac{3^9}{5^2}Rightarrow N_2> N_3\\ frac{N_3}{N_4}=frac{5^2}{7}Rightarrow N_3> N_4\\ frac{N_4}{N_5}=frac{3^3cdot 7}{5^4}Rightarrow N_5> N_4\\ frac{N_4}{N_6}=frac{3^3}{5}Rightarrow N_4> N_6\\ frac{N_6}{N_7}=frac{3^2}{7}Rightarrow N_6> N_7\\ frac{N_7}{N_8}=frac{3cdot 7}{11}Rightarrow N_7> N_8\\ N_8=17325$

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