Questão 6

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

Um polinômio $P(x)$ de grau maior que 3 quando dividido por $x-2,x-3$ e $x-5$ deixa restos $2,3$ e $5$ , respectivamente. O resto da divisão de $P(x)$ por $(x-2)(x-3)(x-5)$ é:

x-1

x-30

Gabarito:

Resolução:

$P(x) = Q(x).(x-2).(x-3).(x-5)+R(x)$

R(x) possui grau menor ou igual a 2, logo:

$R(x) = a.x^2+b.x+c$

Assim:

$left{egin{matrix} P(2) = R(2) = 2 Rightarrow 4a+2b+c = 2 \ P(3) = R(3) = 3 Rightarrow 9a+3b+c = 3 \ P(5) = R(5) = 5 Rightarrow 25a+5b+c = 5 end{matrix} ight.$

Logo:

$left{egin{matrix} 5a+b = 1 \ 16a+2b = 2 end{matrix} ight.$

$a = 0, b = 1, c = 0 Rightarrow R(x) = x$

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