Questão 8

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

Uma progressão geométrica é formada com os números naturais $A,B$ e $C$ , nessa ordem. O $log(A)$ possui a mesma mantissa, $M$ , do $log(B)$ e $C$ é a característica do $log(A)$ . Sabe-se que $M=log(C)$ e que $C$ possui o maior valor possível. O valor da mantissa do $log(ABC)$ é:

$M$

$2M$

$3M$

$3M-2$

$3M-3$

Gabarito:

$3M-2$

Resolução:

A, B, C naturais em P.G.:

$B = Acdot r, C = Acdot r^2$

Além disso:

$M = {log A} = {log B} = log C$

$log A - log B inmathbb{Z}\\Rightarrow logfrac{A}{B}=k\\Rightarrow logfrac{1}{r}=k\\Rightarrow r=10^{-k}$

Veja que M, sendo uma mantissa, possui valor inferior a 1, logo:

$log C=M<1\\Rightarrow C<10$

Como o valor de C é o maior possível, C=9 e daí temos:

$egin{cases} A=9cdot 10^{2k}\ B=9cdot 10^k\ C=9 end{cases}$

com isso podemos calcular

$egin{matrix} log(ABC)=&;log(9^3cdot 10^{3k})\ =&;log 10^{3k}+log 9^3\ =&;3k+3log 9 end{matrix}$

mas veja que log 9 é um valor relativamente alto, e portanto 6*log 9 é um número maior do que 1, então para calcular sua parte fracionária utilizaremos o seguinte truque:

$egin{matrix} log(ABC)=&;3k+log 9^3\ =&;3k+log 729\ =&;3k+log(100cdot 7,29)\ =&;3k+2+log7,29 end{matrix}$

e agora podemos afirmar que 0<log 7,29<1 e essa será a mantissa de log(ABC), sendo assim:

$3log 9=2+log7,29\\Rightarrow 3M=2+log 7,29\\Rightarrow log 7,29 =3m-2$

Questões relacionadas

Questão 1

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja o conjunto...

Ver questão

Questão 2

(IME - 2019/2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:

Ver questão

Questão 3

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Considere os conjuntos e . Seja o conjunto de funções cujo domínio é e cujo contradomínio é . Escolhend...

Ver questão

Questão 4

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo. O valor de S é:

Ver questão