Questão 15

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

Considere a função $f(x)=sqrt{x-a},,,xgeq a$ onde $a$ é um número real positivo. Seja $s$ a reta secante ao gráfico de $f$ em $(2a,f(2a))$ e $(5a,f(5a))$ e $t$ a reta tangente ao gráfico de $f$ que é paralela à reta $s$ . A área do quadrilátero formado pela reta $s$ , a reta $t$ , a reta $x=2a$ e a reta $x=5a$ é $sqrt2$ unidades de área. O valor de $a$ , em unidades de comprimento, é:

$2sqrt2$

$4$

$2$

$3sqrt2$

$2sqrt[3]{4}$

Gabarito:

$2sqrt[3]{4}$

Resolução:

A área do polígono delimitado pelas retas informadas, Será dada pelo produto da base que vale 3a pela altura h que vale a diferença dos termos independentes(coeficientes lineares) das equações das retas t e s.

A equação da reta r é dada por:

$y - fleft(2a ight ) = mleft(x - 2a ight )$

$m = frac{fleft(5a ight ) - fleft(2a ight )}{5a-2a}$

$m = frac{2sqrt{a} - sqrt{a}}{3a}$

$m = frac{ sqrt{a}}{3a}$

Então:

$y - sqrt{a} = frac{sqrt{a}}{3a}left(x - 2a ight )$

$y = frac{xsqrt{a}}{3a} + frac{sqrt{a}}{3}$

Agora para a reta t devemos lembrar que o coeficiente angular é dado pela derivada da função f. Como t é paralela a r, temos que o coeficiente angular é o mesmo. Então:

$frac{dp}{dx} fleft(x ight) = frac{1}{2sqrt{p-a}} = frac{sqrt{a}}{3a}$