Questão 4

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Em um jogo, João e Maria possuem cada um três dados não viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lançará os seus dados, sendo João o primeiro a lançar. O vencedor será aquele que obtiver o maior número de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencerá aquele que tiver o maior número nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, não haverá vencedor. Suponha que João obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual é a probabilidade de Maria vencer o jogo?

Gabarito:

Resolução:

Temos as possibilidades para Maria vencer, caso João tenha 2 resultados iguais:

1º) Maria obter 3 resultados iguais:

Temos os casos vencedores para Maria:

(1,1,1);(2,2,2);(3,3,3);(4,4,4);(5,5,5);(6,6,6)

Cuja probabilidade é de 6 em 6x6x6=216 casos possíveis, $frac{6}{216}=frac{1}{36}$

2º) Maria obter 2 resultados iguais:

Neste caso, Maria vence apenas se os dados iguais forem maiores que os dados iguais de João.

Analisando os casos:

Se os dados iguais de João forem 1 (1,1,x), há 6 casos (x=1,2,...,6) possíveis em 36 (a,a,b), temos 6 possibilidades para a e 6 para b, maria vence com (a,a,b), em que a=2,3,...,6 e b=1,2,...,6 logo, a probabilidade de Maria vencer é

$P=frac{6}{30}cdot frac{30}{216}=frac{1}{6}cdot frac{5}{36}=frac{5}{216}$

Se os dados iguais de João forem 2 (2,2,x), a probabilidade de isso acontecer é $frac{1}{6}$ , e Maria vence com (a,a,b), com a=3,4,5,6 e b=1,2,3,4,5,6 há 216 casos possíveis. Logo,

$P=frac{1}{6}cdot frac{24}{216}=frac{4}{216}$

Se os dados de João iguais forem 3(3,3,x), de forma análoga a probabilidade de isso ocorrer é $frac{1}{6}$ , e Maria vence com (a,a,b), com a=4,5,6 e b=1,2,....,6, logo há 18 em 216 casos possíveis. Logo

$P=frac{1}{6}cdot frac{18}{216}=frac{3}{216}$

Da mesma forma, se os dados de joão iguais forem 4(4,4,x), Maria vence com (a,a,b), com a=5,6 e b=1,2,...,6, o que dá 12 em 216 casos possíveis. Logo,

$P=frac{1}{6}cdot frac{12}{216}=frac{2}{216}$

E se os dados iguais de joão forem 5, Maria vence com (a,a,b) $\neq$ com a=6 e b=1,2,...,6, o que da 6 em 216 casos logo,

$P= frac{1}{6}cdot frac{6}{216}= frac{2}{216}$

Maria não vence neste caso, se joão tirar (6,6,x), em que x=1,2,....,6.

Unindo todos os casos, a probabilidade de Maria vencer o jogo é

$\P= frac{1}{6}+frac{5}{216}+frac{4}{216}+frac{3}{216}+frac{2}{216}+frac{1}{216}\ P=frac{6+5+4+3+2+1}{216}\ P=frac{21}{216}$

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