Questão 6

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Sabendo que $i^2 = -1$ , encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte inequação:

$\Releft { frac{2log _2 sen (x) + 1}{i(e^{2ix} - 2 cos^2(x)+1)} ight }>0$

onde $\Releft { Z ight }$ é a parte real do número complexo Z.

Gabarito:

Resolução:

Seja $w=frac{2log_2[sin x]+1}{i(e^{2ix}-cos^2x+1)}$

Temos as seguintes relações: $left{egin{matrix} e^{2ix}=cos(2x)+isin(2x)\ cos(2x)=2cos^2x-1 end{matrix} ight.$

Substituindo as relações na expressão de $w$ :

$w=frac{2log_2[sin x]+1}{i(cos(2x)+isin(2x)-2cos^2x+1)}$

$Rightarrow w=frac{2log_2[sin x]+1}{i(2cos^2x-1+isin(2x)-2cos^2x+1)}$

$w=frac{2log_2[sin x]+1}{i(isin 2x)} herefore w=frac{-2log_2[sin x]-1}{sin 2x}$

Observe que $w$ é um número real. Basta verificar se $w>0$ :

$frac{-2log_2[sin x]-1}{sin 2x}>0Rightarrowfrac{2log_2[sin x]+1}{sin 2x}<0$

Agora, nos atentaremos para as condições de contorno da expressão acima:

$left{egin{matrix} sin x>0\ sin 2x eq0 end{matrix} ight.$

Verificando os sinais das expressões da fração, considerando inicialmente que $xinleft[0,2pi ight ]$ , temos:

I. Análise do numerador:

$2log_2[sin x]+1>0Rightarrow log_2[sin x]>-frac{1}{2} herefore sin x>frac{sqrt2}{2}$

Logo, temos que $xinleft]frac{pi}{4},frac{3pi}{4} ight [$

II. Análise do denominador:

$sin2x>0$

Logo, temos que $xinleft]0,frac{pi}{2} ight [cupleft]pi,frac{3pi}{2} ight[$

Verificando então o sinal da razão das duas expressões e aplicando as condições de existência, temos:

$w<0Leftrightarrow xinleft]0,frac{pi}{4} ight [cupleft]frac{pi}{2},frac{3pi}{4} ight [$

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