Questão 8

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Os pontos A (−5,0) e B (5,0) definem um dos lados do triângulo ABC. A bissetriz interna do ângulo correspondente ao vértice C é paralela à reta de equação 14x – 2y + 1 = 0. Determine o valor da excentricidade do lugar geométrico definido pelo vértice C deste triângulo.

Gabarito:

Resolução:

Seja C = ( $x_{0}$ , $y_{0}$ ) e D a interseção da bissetrix de AĈB com o lado AB, usando que BĈD = DĈA

tgx = $frac{frac{Y{o}}{X_{0}-5}-7}{1+7frac{Y_{0}}{X_{0}-5}} = frac{7- frac{Y_{0}}{X_{0}+5}}{1+7frac{Y_{0}}{X_{0}+5}}$

$Rightarrow$ $left ( frac{y_{0}}{x_{0}-5} -7 ight )left ( 1+7 frac{y_{0}}{x_{0}+5} ight )=left ( frac{7-frac{y_{0}}{x_{0}+5}}{2} ight )left ( 1+7frac{y_{0}}{x_{0}-5} ight )$ $frac{y_{0}}{x_{0}-5} + 7 frac{y_{0}}{x_{0^{2}-25}} - 7 - frac{49y_{0}}{x_{0}+5} = 7 + frac{49y_{0}}{x_{0}-5} - frac{y_{0}}{x_{0}+5}-frac{7y^{2}_{0}}{x^{2}_{0}-25}$

$frac{48y_{0}}{x_{0}-5} + frac{48y_{0}}{x_{0}+5} - frac{14y^{2}_{0}}{x^{2}_{0}-25} + 14=0$

$Rightarrow$ $24y_{0}(x_{0}+5) + 24y_{0}(x_{0}-5) - 7y^{2}_{0} = 7(x^{2}_{0}-25)=0$

$7x^{2}_{0} - 7y^{2}_{0} + 48x_{0}y_{0} - 175 = 0$

$egin{vmatrix} 7&24& \ 24 & -7& end{vmatrix} = -49-24^{2}<0$

$egin{vmatrix} 7 & 24 & 0&\ 24& -7 & 0 \ 0&0 &-175 end{vmatrix} eq 0 Rightarrow Hiperbole$

$x_{0} = ilde{x} frac{4}{5} - ilde{y} frac{3}{5}$

$y_{0} = ilde{x} frac{3}{5} + ilde{y} frac{4}{5}$

tg2A = $frac{48}{14} = frac{24}{7}$

senA = $frac{3}{5}$

senB= $frac{4}{5}$

$7left ( ilde{x}^{2}frac{16}{25} ight ) - 2. frac{12}{25} ilde{x} ilde{y}+ ilde{y}^{2}.frac{9}{25} -7left ( ilde{x}^{2}frac{9}{25} +2.frac{12}{25} ilde{x} ilde{y} ight )+48left ( frac{12 ilde{x^{2}}}{25} ight )+frac{7 ilde{x} ilde{y}}{25}=left ( frac{-12{ ilde{g}}^{2}}{25} ight )$

$frac{ ilde{x}^{2}}{25^{2}}left ( 7-16-7.9+ 48.12 ight )+ frac{ ilde{y}^{2}}{25^{2}}(7.9-7.16-12.48)$

$+ ilde{x} ilde{y}left ( -2.2.frac{127}{25}+ frac{48.7}{25} ight ) -175=0$

$ilde{x}^{2}- ilde{y}^{2}=175 ightarrow equilatero$

a=b=1

$e=frac{sqrt{a^{2}+}b^{2}}{a}$

$=sqrt{frac{2}{1}}$

$=sqrt{2}$

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