Questão 5

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021)

Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:

3035

4205

4398

4608

5063

Gabarito:

4205

Resolução:

Do enunciado, temos:

$PA_1: a_1,a_1+R_1,a_1+2R_1 dots a_1+6R_1$

$PA_2: b_1,b_1+R_2,b_1+2R_2 dots b_1+6R_2$

note que: $a_7 = a_1+6R_1$ e $b_7 = b_1+6R_2$

$left{egin{array}{lll} S_1 = a_1b_1=3053 \ S_2=(a_1+R_1)(b_1+R_2)=3840 \ S_3=(a_1+2.R_1)(b_1+2.R_2)=4389 end{array} ight.$ $Rightarrow left{egin{array}{lll} S_1 = a_1b_1=3053 \ S_2=a_1.b_1+a_1.R_2+b_1.R_1+R_1.R_2 = 3840 \ S_3=a_1.b_1+2.a_1.R_2+2.b_1.R_1+4.R_1.R_2=4389 end{array} ight.$

Substituindo S₁=a₁b₁ em S₂ e S₃, temos:

$Rightarrow left{egin{array}{ll} 3053+a_1.R_2+b_1.R_1+R_1.R_2 = 3840 \ 3053+2.a_1.R_2+2.b_1.R_1+4.R_1.R_2=4389 end{array} ight.$

$Rightarrow left{egin{array}{ll} a_1.R_2+b_1.R_1+R_1.R_2 = 787 \ a_1.R_2+b_1.R_1+2R_1.R_2=668 end{array} ight.$

$Rightarrow left{egin{array}{ll} a_1.R_2+b_1.R_1 = 906 quad (1) \ R_1.R_2=-119 qquad quad : : (2) end{array} ight.$

Do enunciado, temos:

$S_7=a_7.b_7 = (a_1+6R_1)(b_1+6R_2)$

$S_7=a_1.b_1 + 6.a_1.R_2 + 6.b_1.R_1+36.R_1.R_2$

$S_7=a_1.b_1 + 6.(a_1.R_2 + .b_1.R_1)+36.R_1.R_2$

Substituindo (1) e (2) em S₇, temos:

$S_7=3053+6.906+36.(-119)$

$S_7=4205$

Alternativa B.

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