Questão 11

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Considere o sistema de equações:

$left{egin{matrix} log(-2x+3y+k)=log(3)+log(z)\ log_{x}(1-y)=1\ x+z=1 end{matrix} ight.$

onde $x, y,$ e $z$ são variáveis e $k$ é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:

A

$k<-2$

B

$-2<k<0$

C

$0<k<2$

D

$2<k<4$

E

$k>4$

Gabarito:

$0<k<2$

Resolução:

Primeiramente, aplica-se a condição de existência dos logaritmos nas equações do sistema:

$-2x + 3y + k >0$

$oxed {k > 2x - 3y}$

$oxed{z > 0}$

$1-y > 0$

$oxed{y<1}$

$oxed {x> 0 e x eq 1}$

Agora, resolve-se o sistema:

$log(-2x+3y+k) = log(3z)$

$oxed{-2x + 3y + k = 3z} (I)$

$oxed{1-y = x} (II)$

$oxed{x+z = 1} (III)$

Agora, temos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas. Colocamos y e z em função de x usando as equações I e II e depois substituímos na equação III para encontrar K:

$left{egin{matrix} y = & 1-x \ z =& 1 - x end{matrix} ight.$

Aplicando em I:

$-2x + 3(1-x) + k = 3(1-x)$

$k = 2x$

$oxed {x = frac{k}{2}}$

Logo:

$left{egin{matrix} y = &1 - frac{k}{2} \ z = & 1 - frac{k}{2} end{matrix} ight.$

Portanto, pelas condições de existência:

$(1) x > 0 e x eq 1$

$oxed {frac{k}{2} > 0 Rightarrow k > 0}$

$oxed {frac{k}{2} eq 1 Rightarrow k eq 2}$

$(2) y < 1$

$oxed{1-frac{k}{2}<1 Rightarrow k > 0}$

$(3) z>0$

$oxed{1-frac{k}{2}>0 Rightarrow k< 2}$

$(4) k > 2x - 3y$

$k > 2 (frac{k}{2}) - 3 cdot (1-frac{k}{2})$

$k > k - 3 + frac{3k}{2}$

$-frac{3k}{2} > -3$

$-frac{3k}{2} > -3$

$-frac{k}{2} > -1$

$oxed{k < 2}$

Portanto, para atender todas as condições de existência temos que:

$oxed {0 < k < 2}$

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