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Questão 3

IME 2020
Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Seja a função f(x)=2x^{4}-8x^{3}+4x-7. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos: (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3}) e (x_{4},y_{4}). O valor de frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{2} é:

 

A

1

B

3/2

C

2

D

7/2

E

4

Gabarito:

2



Resolução:

f(x) = 2x4 - 8x3 + 4x -7 e seja a função a seguir representando uma reta qualquer:

y = mx + K, como corta f(x), então;

mx + k = 2x4 - 8x3 + 4x -7

2x4 - 8x3 + 4x - mx -7 - k = 0

2x4 - 8x3 + x(4 - m) - (7 + k) = 0

Por relações girard, a soma de x soluções dessa equação é:

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - frac{b}{a} = frac{-(-8)}{2} = 4

Logo,

frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{2} =frac{4}{2} = 2

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