Questão 1

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Determine a soma dos coeficientes de $x^{3}$ na expansão de $(1+x)^{4}(2-x^{2})^{5}.$

-320

-288

-192

128

320

Gabarito:

-192

Resolução:

$(1+x)^4.(2-x^2)^5 = (1+x)^4.(2-x^2)^4.(2-x^2) =[(1+x).(1-x^2)]^4.(2-x^2) Rightarrow$

$Rightarrow [2-x^2+2x-x^3]^4.(2-x^2) = (1+x)^4$

$Rightarrow (1+x)^4 = {4choose 0}x^4 + {4choose 1}x^3+{4choose 2}x^2 + {4choose 3}x +{4choose 4}$

$Rightarrow (2-x^2)^5 = [(-1)(x^2-2)]^5=(-1).(x^2-2)^5$

$Rightarrow (x^2-2)^5 = {5choose 0}x^{10} + {5choose 1}x^8.(-2)+{5choose 2}x^6.(4) + {5choose 3}x^4.(-8) +{5choose 4}x^2.(16)+{5choose 0}.(-32)$

$Rightarrow (2-x^2)^5 = -{5choose 0}x^{10} + 2.{5choose 1}x^8-4.{5choose 2}x^6 + 8.{5choose 3}x^4. -16.{5choose 4}x^2+32.{5choose 0}.$

Multiplicando as duas, o termo que terá x³ é somente:

$Rightarrow -16.{5choose 4}x^2.{4choose 3}x + {4choose 1}x^3{5choose 5}.(32) = -16.5.4.x^3+4.32.x^3 = -192x^3$

Alternativa C

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