Questão 3
IME 2020
[IME - 2020/2021 - 2ª fase]
Considere uma progressão aritmética (PA) de números inteiros com razão p > 2, eu primeiro termo maior do que 2 e seu último termo menor do que 47. Retirando-se uma determinada quantidade de elementos da PA, recai-se em uma PG de 3 elementos e razão q > 2. Para p e q inteiros, p diferente de q, determine a PA cuja soma de seus elementos seja a maior possível.
Gabarito:
Resolução:
Vamos considerar a PG como , considerando sua razão
percebemos que q precisa ser q=3, pois se q for q=4, teremos:
sabendo que o terceiro termo da PG é teríamos uma situação impossível porque a PA tem razão p>2 e
, ou seja, o menor valor possível para
é
, assim sendo, chegariamos em
que é maior que 47.
Assim concluímos que necessariamente q=3, então a PG é:
Como então
Se então podemos ter dois casos para a PG:
I.
II.
III.
Para termos uma PA com o primeiro termo igual a a1=3 e que contenha a PG descrita em (I), e para que tenhamos nessa PA a maior soma possível, precisamos que a razão da PA seja p=6, assim teremos uma PA:
e a soma dos termos é 192.
Para termos uma PA com o primeiro termo igual a a1=4 e que contenha a PG descrita em (II), e para que tenhamos nessa PA a maior soma possível, precisamos que a razão da PA seja p=4, assim teremos uma PA:
e a soma dos termos é 264.
Para termos uma PA com o primeiro termo igual a a1=5 e que contenha a PG descrita em (III), e para que tenhamos nessa PA a maior soma possível, precisamos que a razão da PA seja p=5, assim teremos uma PA:
e a soma dos termos é 225
Assim.sendo, a maior sequência é a da letra B, PA: