Questão 4

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Seja o polinômio $1-y+y^2-y^3+...-y^{19}+y^{20}$ que pode ser escrito da seguinte forma

$alpha _0 + alpha _1 x +alpha _2x^2 +alpha _3 x^3 +alpha _4x^4+...+alpha _{19}x^{19}+alpha _{20}x^{20}$

Onde $x=y+1$ e $alpha _i$ são constantes reais. Calcule o valor numérico de $alpha _3$ .

Gabarito:

Resolução:

$1- y^1 + y^2 - y^3 + ... - y^{19} + y^{20}$ polinômio escrito da forma

$alpha 0 + alpha_1 x + alpha_2 x^2 - alpha_3 x^3 + ... + alpha _{19} x^{19} + alpha _{20}x^{20}$

$x = y + 1, alpha in R$

Seja $1cdot y^0 - 1cdot y^1 + 1cdot y^2 - 1cdot y^3 + ... - 1cdot y^{19} + 1cdot y^{20}$

$sum_{i - 0}^{20} (-1)^i cdot y^i = sum_{i - 0}^{20} (-y)^i$ , e seja y = x - 1, então =

$sum_{i = 0}^{20} (-1 cdot (x -1))^i =$ $sum_{i = 0}^{20} (1 -x)^i = (1-x)^0 + (1-x)^1 + (1-x)^2 +...+ (1 -x)^{19} + (1 -x)^{20}$

Então: $(1 - x)^0 = 1$

$(1 - x)^1 = 1 - x$

$(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$

$(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

$(1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$

$(1 - x)^5 = 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 + x^5$

$(1 - x)^{20} = 1$

Logo, do binômio de Newton, o desenvolvimento do triângulo de Pascal

Então:

$alpha _3 = (C_{3,3} + C_{4,3} + C_{5,3} + ... + C_{19, 3} + C_{20 , 3})$

$alpha _3 = frac {-1}{3!} cdot (frac {3!}{0!} + frac {4!}{1!} + frac {5!}{2!} + frac {6!}{3!} + frac {7!}{4!} + ... + frac {19!}{16!} + frac {20!}{17!})$

$alpha _3 = frac {-21}{17} = 5985$

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