Questão 9

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Sejam os pontos $D$ , $E$ e $F$ pertencentes, respectivamente, aos lados $AB$ , $BC$ e $AC$ do triângulo $ABC$ , tais que $BD=3AD$ , $AF = 3CF$ e $CE = 3BE$ . Sendo $P=AE$ $P=AE$ $cap$ $CD$ , $Q = AE$ $cap$ $BF$ e $R = BF$ $cap$ $CD$ , calcule $frac{egin{bmatrix} PQR end{bmatrix}}{egin{bmatrix} ABC end{bmatrix}}$ .

Observação: $egin{bmatrix} XYZ end{bmatrix}$ é a área do triângulo $XYZ$ .

Gabarito:

Resolução:

$frac{QA}{QE}cdot frac{BE}{BC}cdot frac{CF}{FA}=1$

$frac{QA}{QE}cdot frac{z}{4z}cdot frac{y}{3y}=1$

$QA=12cdot QE$

Olhando para os triângulos $Delta QBC$ e $Delta QAB$ , mantendo-se as proporções, as áreas são $a$ , $3a$ e $12a$ , logo:

$Delta ABC=13a=frac{Delta ACE}{3}$

$Delta ACE=39a$

$Delta ABC=39a+13a=52a$

Como a proporção é mantida para o triângulo $Delta PQR$ , então:

$Delta PQR+33a+3a=52a$

$Delta PQR=16a$

$frac{Delta PQR}{Delta ABC}=frac{16a}{39a}=frac{16}{39}=frac{4}{13}$

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