Questão 10

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Um paralelepípedo oblíquo ABCD - EFGH possui todas as arestas com comprimento $a$ . O plano que contém ABFE forma um ângulo de 60º com o plano que contém ABCD. O ângulo do vértice E da face ABFE é 120°. Se $heta$ for o ângulo do vértice E do paralelogramo contido na base superior EFGH do paralelepípedo, determine o volume do paralelepípedo em função da aresta $a$ e do ângulo $heta$ .

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, volume do paralelepípedo é dado pela multipicação da área da base (Sb) vezes altura. Então:

$V = Sb.h$

Mas a área da base é o dobro do triângulo de lados a e a, com ângulo $heta$ entre eles, logo:

$Sb = 2.frac{1}{2}.a.a.sen heta$

$Sb = a^{2}.sen heta$

Já para o cálculo da altura, como o sólido está inclinado, exige um pouco mais de visão tridimensional, da forma que:

$h = frac{xsqrt{3}}{2}$ onde $x = frac{asqrt{3}}{2}$ , como ilustrado.

Logo

$h= frac{3a}{4}$

Portanto, o volume do paralelepípedo é:

$V = Sb.h$

$V = a^{2}.sen hetafrac{3a}{4}$

$V = frac{3}{4}a^{3}.sen heta$

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