Questão 2

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Seja $f(x)$ uma função definida em $mathbb{R}$ tal que $f(1) = 1$ . Para todo $x in mathbb{R}$ valem as seguintes desigualdades

$f(x+7)geq f(x)+7$ e $f(x+1) leq f(x)+1$ .

Se $g(x)=f(x-1)-x+2$ , o valor de $g(2023)$ é

A

0

B

1

C

2

D

2022

E

2023

Gabarito:

1

Resolução:

Façamos para x=2,3,4...

$f(x+1)leq f(x)+1$

$f(x+2)leq f(x+1) + 1$

$...$

$f(x+7)leq f(x+6) + 1$

Somando todos os termos do lado direito e esquerdo, encontramos

$f(x+7)leq f(x)+7$

Porém, pelo enunciado, temos que: $f(x+7)geq f(x) + 7$ .

Assim, podemos concluir que $f(x+7)= f(x) + 7$ , o que garante a igualdade das outras desigualdades.

Fazendo então x=1,2,3.....

$f(8)=f(1)+7=8$

$f(15)=f(8)+7=15$

$f(22)=f(15)+7=22$

$...$

$f(2023)=f(2016)+7=2023$

Supomos, portanto, $f(x)=x$ .

Provando por Indução Finita:

Hipótese:

$f(k)=k$

Tese:

$f(k+1)=k+1$

Fazendo, portanto:

$f(k+7)=f(k)+7=k+7$

$f((k-1)+7)=f(k-1)+7=k-1+7Rightarrow f(k+6)=k+6$

Analogamente, façamos reduzindo 1 de k, teremos ao final:

$f(k+1)=k+1$ , como queríamos demonstrar. Portanto, nossa hipótese é válida e $f(x)=x$ .

Logo,

$g(x)=f(x-1)-x+2$

$g(2023)=f(2022)-2021=2022-2021=1$

$g(2023)=1$

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