Questão 3

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Considere os conjuntos de números complexos:

$A = { x + iy$ tal que $x,y in mathbb{R}$ e $|x| + |y| leq r}$ e

$B = { x + iy$ tal que $x,y in mathbb{R}$ e max ${|x-a|,|y-b|}leq c},$

onde $r$ , $a$ , $b$ e $c$ são números reais positivos e max ${x_1,x_2}$ é o maior valor entre os reais $x_1$ e $x_2$ . O menor valor de $r$ , em função de $a$ , $b$ e $c$ , para que se tenha $B subset A$ é

$a + b + c$

$(a + b)sqrt{2}+ c$

$2(a + b) + c$

$a + b + 2c$

$2(a + b + c)$

Gabarito:

$a + b + 2c$

Resolução:

Para o conjunto A:

Para o conjunto B:

Para $Bsubset A$ , P1 e P2 devem pertencer a A.

Logo, para P1:

$a+c+b+cleq r$

$a+b+2cleq r$

Para P2:

$a+c+b-cleq r$

$a+bleq r$

Sendo $a+bleq a+b+2c$ , então $r_{min} = a+b+2c$ .

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