Questão 5

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Dez números reais formam uma progressão geométrica (PG) com razão $q > 1$ . Removem-se ao acaso cinco desses números. A probabilidade de que os cinco números restantes estejam em PG é

$frac{1}{252}$

$frac{1}{126}$

$frac{3}{126}$

$frac{2}{63}$

$frac{3}{63}$

Gabarito:

$frac{2}{63}$

Resolução:

Seja "a" o termo inicial da PG, assim, nossa PG se dá por:

$a,aq^2,aq^3,aq^4...,aq^9$

A razão $r$ entre os termos é $q$ , então escolhendo 5 termos ao acaso, a razão entre eles ainda será uma potência de $q$ .

Analisando as PGs favoráveis, por inspeção, concluimos que para $r geq q^3$ , não existem casos favoráveis.

Para $r=q$ , temos os seguintes casos:
$(a,aq,aq^2,aq^3,aq^4),(aq,aq^2,aq^3,aq^4,aq^5),(aq^2,aq^3,aq^4,aq^5,aq^6),(aq^3,aq^4,aq^5,aq^6,aq^7),(aq^4,aq^5,aq^6,aq^7,aq^8),(aq^5,aq^6,aq^7,aq^8,aq^9)$

E para $r=q^2$ :

$(a,aq^2,aq^4,aq^6,aq^8),(aq,aq^3,aq^5,aq^7,aq^9)$

Logo, $n_1=6+2=8$ casos favoráveis.

Número de combinações possíveis será $n_2=inom{10}{5}$ .

Portanto, $P=frac{n_1}{n_2}=frac{2}{63}$ .

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