Questão 6

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Seja um tetraedro de vértices $A$ , $B$ , $C$ e $D$ . São dados os ângulos em radianos:

$Awidehat{D}B=frac{pi}{3}$ e $Cwidehat{D}B=Awidehat{D}C=frac{pi}{2}$

e os comprimentos das arestas em centímetros $overline{CD}= 3$ e $overline{AD} = overline{BD} = 4$ .

A distância em centímetros do ponto $D$ ao plano $ABC$ é

$frac{6}{7} sqrt{7}$

$2sqrt{3}$

Gabarito:

$frac{6}{7} sqrt{7}$

Resolução:

i) Veja que $AD=BD=4$ e $angle ADB=frac{pi}{3}$

$Delta ABD$ é equilátero $Rightarrow [ABD]=frac{1.4^2.sqrt3}{2.2}=4sqrt3$

ii) $V_{ol}=frac{[ABD]}{3}.CD$ , sabemos que $angle CDB = angle ADC = frac{pi}{2}$ , logo a altura se dá por $CD$ .

$V_{ol}=frac{4sqrt3.3}{3}=4sqrt3$

iii) O mesmo volume pode ser considerado tomando-se $Delta ABC$ como base e "h" como altura.

iv) $Delta ADC$ é retângulo, $AC=5$ e analogamente $BC=5$ . Daí,

$Rightarrow H^2=5^2-2^2=sqrt21$

$[ABC]=frac{1.4sqrt21}{2}=2sqrt21$

v) Por fim, $V=4sqrt3=2sqrt21frac{h}{3} ightarrow h=frac{6sqrt7}{7}$ .

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