Questão 7

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) A soma dos inversos das soluções inteiras da equação

$egin{vmatrix} x & 2& 3\ 2 & x& 3\ 2& 3& x end{vmatrix}=0$

$0$

$-frac{19}{30}$

$-15$

$15$

$frac{19}{30}$

Gabarito:

$frac{19}{30}$

Resolução:

$12+x^3+18-4x-6x-9x=x^3-19x+30$

$egin{vmatrix} x & 2 &3 \ 2& x & 3 \ 2& 3 & x end{vmatrix}=0 ightarrow x^3-19x+30=0$

Testando algumas raízes, notamos que uma das raízes é $x_1=2$ .

Fazendo o método de Briot-Ruffini:

$Rightarrow x^2+2x-15=0Rightarrow x_2=3$ e $x_3=-5$ .

Assim, fazendo $S=frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+frac{1}{x_3}=frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{5}=frac{19}{30}$ .

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