Questão 8

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Seja $f : mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ definida como $f(x)=log(x+sqrt{x^2+1})$ . Então:

$f(x)$ é uma função par.

$f(x)$ é uma função ímpar.

$f(2x) >f(x)$ para todo $x eq 0$ .

$f(x)$ tem duas raízes reais.

$f(x)$ não tem raiz real.

Gabarito:

$f(x)$ é uma função ímpar.

Resolução:

Façamos a análise,

$f(x)=log(x+sqrt{x^2+1})$

$f(-x)=log(-x+sqrt{x^2+1})$

Façamos a soma de ambas as funções:

$f(-x)+f(x)=log(x+sqrt{x^2+1})+log(sqrt{x^2+1}-x)=log((sqrt{x^2+1})^2-x^2)$

$log(x^2+1-x^2)=log1=0$

$f(-x)=-f(x)$

Portanto, a função é ímpar.

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